Как получить производную выражения $y' = (1 + \frac{2}{x})'$?

Question

Вопрос:

Как получить производную выражения $y' = (1 + \frac{2}{x})'$?

$Как получить производную выражения $y' = (1 + \frac{2}{x})'$?$

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Привет! Давай разберёмся, как получилось это выражение. Нам нужно найти производную функции $y = 1 + \frac{2}{x}$. 1. **Разделяем функцию:** Сначала мы используем правило, что производная суммы — это сумма производных. То есть, если у нас есть $(А + В)'$, это будет $А' + В'$. Поэтому $\left(1 + \frac{2}{x}\right)'$ превращается в $(1)' + \left(\frac{2}{x}\right)'$. 2. **Находим производную числа 1:** Производная любого простого числа (константы) всегда равна нулю. Ведь число не меняется! Значит, $(1)' = 0$. 3. **Переписываем вторую часть:** Чтобы было удобнее брать производную от $\frac{2}{x}$, мы можем записать $x$ в знаменателе как $x$ со степенью $-1$. Вспомни, что $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Тогда $\frac{2}{x}$ станет $2x^{-1}$. 4. **Находим производную от $2x^{-1}$:** Здесь мы используем правило производной степени: $(cx^n)' = c \cdot n \cdot x^{n-1}$. * У нас $c=2$ (это числовой множитель). Он так и остаётся. * Степень $n = -1$. * Когда мы уменьшаем степень на 1, получаем $n-1 = -1-1 = -2$. Получаем: $2 \cdot (-1) \cdot x^{-2}$. 5. **Собираем всё вместе:** Теперь складываем результаты: $$y' = (1)' + (2x^{-1})' = 0 + 2 \cdot (-1) \cdot x^{-2} = -2x^{-2}$$ 6. **Возвращаем $x$ в знаменатель:** Чтобы избавиться от отрицательной степени, мы снова отправляем $x$ в знаменатель: $$-2x^{-2} = -2 \cdot \frac{1}{x^2} = -\frac{2}{x^2}$$ Вот так и получилось это выражение! Шаг за шагом. **Ответ:** Выражение получилось в результате последовательного применения правил дифференцирования: правила суммы, производной константы и производной степенной функции.

Как получить производную выражения $y' = (1 + \frac{2}{x})'$?

Ответ ассистента

Другие решения