Найди синус, косинус и тангенс углов A и B в треугольнике ABC с прямым углом C, если BC = 8, AB = 17

Привет! Давай разберёмся с этими задачками по геометрии. ### Задание 697 Нам нужно найти синус, косинус и тангенс углов A и B в прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C. Напомню, что в прямоугольном треугольнике: * Синус угла ($\sin$) — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. * Косинус угла ($\cos$) — это отношение прилежащего катета к гипотенузе. * Тангенс угла ($\text{tg}$) — это отношение противолежащего катета к прилежащему. Ещё нам пригодится теорема Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза. **а) Дано: BC = 8, AB = 17** Сначала найдём неизвестный катет AC по теореме Пифагора: $AC^2 + BC^2 = AB^2$ $AC^2 + 8^2 = 17^2$ $AC^2 + 64 = 289$ $AC^2 = 289 - 64$ $AC^2 = 225$ $AC = \sqrt{225}$ $AC = 15$ Теперь найдём синус, косинус и тангенс углов A и B: **Для угла A:** Противолежащий катет для угла A — это BC = 8. Прилежащий катет для угла A — это AC = 15. Гипотенуза — это AB = 17. $\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{17}$ $\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{15}{17}$ $\text{tg} A = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{15}$ **Для угла B:** Противолежащий катет для угла B — это AC = 15. Прилежащий катет для угла B — это BC = 8. Гипотенуза — это AB = 17. $\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{15}{17}$ $\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{17}$ $\text{tg} B = \frac{AC}{BC} = \frac{15}{8}$ **б) Дано: BC = 21, AC = 20** Найдём гипотенузу AB по теореме Пифагора: $AB^2 = AC^2 + BC^2$ $AB^2 = 20^2 + 21^2$ $AB^2 = 400 + 441$ $AB^2 = 841$ $AB = \sqrt{841}$ $AB = 29$ Теперь найдём синус, косинус и тангенс углов A и B: **Для угла A:** Противолежащий катет для угла A — это BC = 21. Прилежащий катет для угла A — это AC = 20. Гипотенуза — это AB = 29. $\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{21}{29}$ $\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{20}{29}$ $\text{tg} A = \frac{BC}{AC} = \frac{21}{20}$ **Для угла B:** Противолежащий катет для угла B — это AC = 20. Прилежащий катет для угла B — это BC = 21. Гипотенуза — это AB = 29. $\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{20}{29}$ $\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{21}{29}$ $\text{tg} B = \frac{AC}{BC} = \frac{20}{21}$ **в) Дано: BC = 1, AC = 2** Найдём гипотенузу AB по теореме Пифагора: $AB^2 = AC^2 + BC^2$ $AB^2 = 2^2 + 1^2$ $AB^2 = 4 + 1$ $AB^2 = 5$ $AB = \sqrt{5}$ Теперь найдём синус, косинус и тангенс углов A и B: **Для угла A:** Противолежащий катет для угла A — это BC = 1. Прилежащий катет для угла A — это AC = 2. Гипотенуза — это $AB = \sqrt{5}$. $\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ $\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$ $\text{tg} A = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{2}$ **Для угла B:** Противолежащий катет для угла B — это AC = 2. Прилежащий катет для угла B — это BC = 1. Гипотенуза — это $AB = \sqrt{5}$. $\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$ $\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ $\text{tg} B = \frac{AC}{BC} = \frac{2}{1} = 2$ **г) Дано: AC = 24, AB = 25** Найдём неизвестный катет BC по теореме Пифагора: $AC^2 + BC^2 = AB^2$ $24^2 + BC^2 = 25^2$ $576 + BC^2 = 625$ $BC^2 = 625 - 576$ $BC^2 = 49$ $BC = \sqrt{49}$ $BC = 7$ Теперь найдём синус, косинус и тангенс углов A и B: **Для угла A:** Противолежащий катет для угла A — это BC = 7. Прилежащий катет для угла A — это AC = 24. Гипотенуза — это AB = 25. $\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{7}{25}$ $\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{24}{25}$ $\text{tg} A = \frac{BC}{AC} = \frac{7}{24}$ **Для угла B:** Противолежащий катет для угла B — это AC = 24. Прилежащий катет для угла B — это BC = 7. Гипотенуза — это AB = 25. $\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{24}{25}$ $\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{7}{25}$ $\text{tg} B = \frac{AC}{BC} = \frac{24}{7}$ ### Задание 698 Здесь нам нужно найти сам угол $\alpha$, если известно его тригонометрическое значение. Для этого мы будем использовать обратные тригонометрические функции: арктангенс ($\text{arctg}$), арккосинус ($\text{arccos}$) и арксинус ($\text{arcsin}$). Нам понадобится калькулятор, чтобы найти точные значения углов. **а) $\text{tg} \alpha = \frac{1}{2}$** Чтобы найти угол $\alpha$, нужно воспользоваться функцией арктангенса: $\alpha = \text{arctg} \left(\frac{1}{2}\right)$ **Ответ:** $\alpha \approx 26,57^{\circ}$ (примерно 26 градусов и 34 минуты) **б) $\text{tg} \alpha = \frac{3}{4}$** Точно так же используем арктангенс: $\alpha = \text{arctg} \left(\frac{3}{4}\right)$ **Ответ:** $\alpha \approx 36,87^{\circ}$ (примерно 36 градусов и 52 минуты) **в) $\cos \alpha = 0,2$** Чтобы найти угол $\alpha$, используем функцию арккосинуса: $\alpha = \text{arccos} (0,2)$ **Ответ:** $\alpha \approx 78,46^{\circ}$ (примерно 78 градусов и 28 минут) **г) $\cos \alpha = \frac{2}{3}$** Снова используем арккосинус: $\alpha = \text{arccos} \left(\frac{2}{3}\right)$ **Ответ:** $\alpha \approx 48,19^{\circ}$ (примерно 48 градусов и 11 минут) **д) $\sin \alpha = \frac{1}{2}$** Чтобы найти угол $\alpha$, используем функцию арксинуса. Этот угол должен быть тебе знаком! $\alpha = \text{arcsin} \left(\frac{1}{2}\right)$ **Ответ:** $\alpha = 30^{\circ}$ **е) $\sin \alpha = 0,4$** Используем арксинус: $\alpha = \text{arcsin} (0,4)$ **Ответ:** $\alpha \approx 23,58^{\circ}$ (примерно 23 градуса и 35 минут)