Проверь, являются ли данные пары выражений тождественно равными.

Привет! Давай разберемся с этим заданием по алгебре. Задание 2 просит нас проверить, являются ли два выражения тождественно равными. Это значит, что нужно упростить первое выражение и посмотреть, получится ли второе. Давай сделаем это для всех четырех пунктов! **1) Проверим выражение:** $$ \frac{1}{6x + 10} - \frac{1}{9x - 15} + \frac{5}{9x^2 - 25} \qquad \text{и} \qquad \frac{1}{6(3x - 5)} $$ Сначала упростим левую часть: Вынесем общие множители из знаменателей: $$ \frac{1}{2(3x + 5)} - \frac{1}{3(3x - 5)} + \frac{5}{(3x - 5)(3x + 5)} $$ Теперь приведем все дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель будет $6(3x - 5)(3x + 5)$. $$ \frac{3(3x - 5)}{6(3x + 5)(3x - 5)} - \frac{2(3x + 5)}{6(3x - 5)(3x + 5)} + \frac{5 \cdot 6}{6(3x - 5)(3x + 5)} $$ Раскроем скобки в числителе: $$ \frac{9x - 15 - (6x + 10) + 30}{6(3x - 5)(3x + 5)} $$ Уберем скобки, поменяв знаки: $$ \frac{9x - 15 - 6x - 10 + 30}{6(3x - 5)(3x + 5)} $$ Приведем подобные слагаемые в числителе: $$ \frac{3x + 5}{6(3x - 5)(3x + 5)} $$ Теперь можно сократить $(3x + 5)$ в числителе и знаменателе: $$ \frac{1}{6(3x - 5)} $$ Видим, что первое выражение после упрощения равно второму выражению. Значит, они тождественно равны. **2) Проверим выражение:** $$ \frac{1}{2x - 8} + \frac{1}{40 - 10x} + \frac{1}{x^2 - 8x + 16} \qquad \text{и} \qquad \frac{2x - 3}{5(x - 4)^2} $$ Упростим левую часть: Вынесем общие множители из знаменателей и разложим квадратный трехчлен: $$ \frac{1}{2(x - 4)} + \frac{1}{-10(x - 4)} + \frac{1}{(x - 4)^2} $$ $$ \frac{1}{2(x - 4)} - \frac{1}{10(x - 4)} + \frac{1}{(x - 4)^2} $$ Общий знаменатель будет $10(x - 4)^2$. $$ \frac{5(x - 4)}{10(x - 4)^2} - \frac{(x - 4)}{10(x - 4)^2} + \frac{10}{10(x - 4)^2} $$ Раскроем скобки в числителе: $$ \frac{5x - 20 - x + 4 + 10}{10(x - 4)^2} $$ Приведем подобные слагаемые в числителе: $$ \frac{4x - 6}{10(x - 4)^2} $$ Вынесем 2 из числителя: $$ \frac{2(2x - 3)}{10(x - 4)^2} $$ Сократим 2 и 10: $$ \frac{2x - 3}{5(x - 4)^2} $$ Первое выражение после упрощения равно второму выражению. Значит, они тождественно равны. **3) Проверим выражение:** $$ \frac{1}{x - 2} + \frac{x - 2}{x^2 + 2x + 4} - \frac{6x}{x^3 - 8} \qquad \text{и} \qquad \frac{2x - 4}{x^2 + 2x + 4} $$ Упростим левую часть: Заметим, что $x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$ (это формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$). $$ \frac{1}{x - 2} + \frac{x - 2}{x^2 + 2x + 4} - \frac{6x}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} $$ Общий знаменатель будет $(x - 2)(x^2 + 2x + 4)$. $$ \frac{x^2 + 2x + 4}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} + \frac{(x - 2)(x - 2)}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} - \frac{6x}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} $$ Раскроем скобки в числителе: $$ \frac{x^2 + 2x + 4 + x^2 - 4x + 4 - 6x}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} $$ Приведем подобные слагаемые в числителе: $$ \frac{2x^2 - 8x + 8}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} $$ Вынесем 2 из числителя: $$ \frac{2(x^2 - 4x + 4)}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} $$ Заметим, что $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$. $$ \frac{2(x - 2)^2}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} $$ Сократим $(x - 2)$ в числителе и знаменателе: $$ \frac{2(x - 2)}{x^2 + 2x + 4} = \frac{2x - 4}{x^2 + 2x + 4} $$ Первое выражение после упрощения равно второму выражению. Значит, они тождественно равны. **4) Проверим выражение:** $$ \frac{2a^2 + 7a + 3}{a^3 - 1} - \frac{1 - 2a}{a^2 + a + 1} - \frac{1}{a - 1} \qquad \text{и} \qquad \frac{3}{a - 1} $$ Упростим левую часть: Заметим, что $a^3 - 1 = (a - 1)(a^2 + a + 1)$ (это формула разности кубов). $$ \frac{2a^2 + 7a + 3}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} - \frac{1 - 2a}{a^2 + a + 1} - \frac{1}{a - 1} $$ Общий знаменатель будет $(a - 1)(a^2 + a + 1)$. $$ \frac{2a^2 + 7a + 3}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} - \frac{(1 - 2a)(a - 1)}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} - \frac{a^2 + a + 1}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} $$ Раскроем скобки в числителе: $$ \frac{2a^2 + 7a + 3 - (a - 1 - 2a^2 + 2a) - (a^2 + a + 1)}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} $$ $$ \frac{2a^2 + 7a + 3 - (-2a^2 + 3a - 1) - (a^2 + a + 1)}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} $$ Уберем скобки, поменяв знаки: $$ \frac{2a^2 + 7a + 3 + 2a^2 - 3a + 1 - a^2 - a - 1}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} $$ Приведем подобные слагаемые в числителе: $$ \frac{(2a^2 + 2a^2 - a^2) + (7a - 3a - a) + (3 + 1 - 1)}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} = \frac{3a^2 + 3a + 3}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} $$ Вынесем 3 из числителя: $$ \frac{3(a^2 + a + 1)}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} $$ Сократим $(a^2 + a + 1)$ в числителе и знаменателе: $$ \frac{3}{a - 1} $$ Первое выражение после упрощения равно второму выражению. Значит, они тождественно равны. **Ответ: Все пары выражений являются тождественно равными.**