Вычислить выражение $\frac{12^{10} \cdot 3^7}{4^9 \cdot 9^5}$

Привет! Давай разберемся с этим примером вместе. Тут нужно "вычислить" значение выражения с большими числами в степени. Не пугайся, это проще, чем кажется, если знать хитрости со степенями! Вот как мы это сделаем: Сначала мы раскладываем все числа на простые множители (на самые маленькие числа, из которых они состоят). Мы знаем, что $12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$, $4 = 2^2$, и $9 = 3^2$. Тогда наше выражение будет выглядеть так: $$ \frac{(2^2 \cdot 3)^{10} \cdot 3^7}{(2^2)^9 \cdot (3^2)^5} $$ Теперь вспомним правила для степеней: когда степень стоит за скобками, то на неё умножаются все степени внутри скобок, а если степень возводится в степень, то показатели умножаются. То есть, $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ и $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Применим эти правила: $$ \frac{2^{2 \cdot 10} \cdot 3^{10} \cdot 3^7}{2^{2 \cdot 9} \cdot 3^{2 \cdot 5}} $$ $$ \frac{2^{20} \cdot 3^{10} \cdot 3^7}{2^{18} \cdot 3^{10}} $$ Дальше, когда мы умножаем числа с одинаковым основанием, их степени складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$): $$ \frac{2^{20} \cdot 3^{10+7}}{2^{18} \cdot 3^{10}} $$ $$ \frac{2^{20} \cdot 3^{17}}{2^{18} \cdot 3^{10}} $$ И последнее правило: когда мы делим числа с одинаковым основанием, из степени числителя вычитается степень знаменателя ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$): $$ 2^{20-18} \cdot 3^{17-10} $$ $$ 2^2 \cdot 3^7 $$ Теперь осталось посчитать: $2^2 = 2 \cdot 2 = 4$ $3^7 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 3 = 81 \cdot 27 = 2187$ Итого: $4 \cdot 2187 = 8748$ **Ответ:** $8748$