Раскрой скобки в выражениях: а) $(x+a)^2$, б) $(y-12)^2$, в) $(x^2+1)^2$, г) $(x^2+3a^3)^2$, д) $(2+a)^3$, е) $(4B-x)^3$, ж) $(2x-5y)(5y+2x)$, з) $(3a-B)(9a^2+3aB+B^2)$, и) $(2+x^2)(4-2x^2+x^4)$, а также упрости выражение $(a+3)^2-(a-2)(a+2)$ и найди его значение при $a=-3,5$

Привет! Давай разберёмся с этим домашним заданием по алгебре. Это очень интересно, ведь мы будем раскрывать скобки и упрощать выражения! ### 1) Раскройте скобки: а) Чтобы раскрыть $(x+a)^2$, мы используем формулу квадрата суммы: $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$. Здесь $A = x$, $B = a$. $$ (x+a)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot a + a^2 = x^2 + 2ax + a^2 $$ б) Чтобы раскрыть $(y-12)^2$, мы используем формулу квадрата разности: $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$. Здесь $A = y$, $B = 12$. $$ (y-12)^2 = y^2 - 2 \cdot y \cdot 12 + 12^2 = y^2 - 24y + 144 $$ в) Чтобы раскрыть $(x^2+1)^2$, снова используем формулу квадрата суммы: $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$. Здесь $A = x^2$, $B = 1$. $$ (x^2+1)^2 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 1 + 1^2 = x^4 + 2x^2 + 1 $$ г) Чтобы раскрыть $(x^2+3a^3)^2$, опять используем формулу квадрата суммы: $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$. Здесь $A = x^2$, $B = 3a^3$. $$ (x^2+3a^3)^2 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 3a^3 + (3a^3)^2 = x^4 + 6x^2a^3 + 9a^6 $$ д) Чтобы раскрыть $(2+a)^3$, мы используем формулу куба суммы: $(A+B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$. Здесь $A = 2$, $B = a$. $$ (2+a)^3 = 2^3 + 3 \cdot 2^2 \cdot a + 3 \cdot 2 \cdot a^2 + a^3 = 8 + 3 \cdot 4 \cdot a + 6a^2 + a^3 = 8 + 12a + 6a^2 + a^3 $$ е) Чтобы раскрыть $(4B-x)^3$, мы используем формулу куба разности: $(A-B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$. Здесь $A = 4B$, $B = x$. $$ (4B-x)^3 = (4B)^3 - 3 \cdot (4B)^2 \cdot x + 3 \cdot 4B \cdot x^2 - x^3 = 64B^3 - 3 \cdot 16B^2 \cdot x + 12Bx^2 - x^3 = 64B^3 - 48B^2x + 12Bx^2 - x^3 $$ ж) Чтобы раскрыть $(2x-5y)(5y+2x)$, мы можем переписать второй множитель как $(2x+5y)$. Тогда это будет формула разности квадратов: $(A-B)(A+B) = A^2 - B^2$. Здесь $A = 2x$, $B = 5y$. $$ (2x-5y)(2x+5y) = (2x)^2 - (5y)^2 = 4x^2 - 25y^2 $$ з) Чтобы раскрыть $(3a-B)(9a^2+3aB+B^2)$, мы используем формулу разности кубов: $(A-B)(A^2+AB+B^2) = A^3 - B^3$. Здесь $A = 3a$, $B = B$. $$ (3a-B)( (3a)^2 + 3a \cdot B + B^2 ) = (3a)^3 - B^3 = 27a^3 - B^3 $$ и) Чтобы раскрыть $(2+x^2)(4-2x^2+x^4)$, мы используем формулу суммы кубов: $(A+B)(A^2-AB+B^2) = A^3 + B^3$. Здесь $A = 2$, $B = x^2$. Проверим, что $A^2 = 4$, $AB = 2x^2$, $B^2 = (x^2)^2 = x^4$. Всё сходится! $$ (2+x^2)(4-2x^2+x^4) = 2^3 + (x^2)^3 = 8 + x^6 $$ ### 2) Упростите выражение и найдите его значение: а) $(a+3)^2-(a-2)(a+2)$ при $a=-3,5$ Сначала упростим выражение: Раскроем скобки: $(a+3)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2 = a^2 + 6a + 9$ $(a-2)(a+2) = a^2 - 2^2 = a^2 - 4$ Теперь подставим это в наше выражение: $$ (a^2 + 6a + 9) - (a^2 - 4) $$ Когда перед скобкой стоит минус, мы меняем все знаки внутри скобки на противоположные: $$ a^2 + 6a + 9 - a^2 + 4 $$ Сложим похожие части: $$ (a^2 - a^2) + 6a + (9 + 4) = 0 + 6a + 13 = 6a + 13 $$ Теперь найдём значение выражения при $a=-3,5$: $$ 6 \cdot (-3,5) + 13 = -21 + 13 = -8 $$ **Ответ: -8** б) $(5a-10)^2-(3a-8)^2+132a$ при $a=-6$ Сначала упростим выражение: Раскроем скобки: $(5a-10)^2 = (5a)^2 - 2 \cdot 5a \cdot 10 + 10^2 = 25a^2 - 100a + 100$ $(3a-8)^2 = (3a)^2 - 2 \cdot 3a \cdot 8 + 8^2 = 9a^2 - 48a + 64$ Теперь подставим это в наше выражение: $$ (25a^2 - 100a + 100) - (9a^2 - 48a + 64) + 132a $$ Снова, перед второй скобкой стоит минус, поэтому меняем знаки внутри: $$ 25a^2 - 100a + 100 - 9a^2 + 48a - 64 + 132a $$ Сложим похожие части: $$ (25a^2 - 9a^2) + (-100a + 48a + 132a) + (100 - 64) $$ $$ 16a^2 + (-52a + 132a) + 36 $$ $$ 16a^2 + 80a + 36 $$ Теперь найдём значение выражения при $a=-6$: $$ 16 \cdot (-6)^2 + 80 \cdot (-6) + 36 $$ Помним, что $(-6)^2 = (-6) \cdot (-6) = 36$: $$ 16 \cdot 36 + 80 \cdot (-6) + 36 $$ $$ 576 - 480 + 36 $$ $$ 96 + 36 = 132 $$ **Ответ: 132**