Разложите на множители выражение $x^2 - 9$

Привет! Разобрать многочлены на множители — это как разложить большую коробку на маленькие детальки, из которых она состоит. Для этого мы будем использовать специальные формулы: * **Формула разности квадратов:** $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ * **Формула разности кубов:** $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ * **Формула суммы кубов:** $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ Давай разбирать каждое выражение по порядку: 1. $x^2 - 9$ Это похоже на формулу разности квадратов, где $a = x$ и $b = 3$ (потому что $3^2 = 9$). Значит, $x^2 - 3^2 = (x - 3)(x + 3)$. **Ответ:** $(x - 3)(x + 3)$ 2. $25 - 4y^2$ И здесь тоже разность квадратов! $25 = 5^2$, а $4y^2 = (2y)^2$. Значит, $5^2 - (2y)^2 = (5 - 2y)(5 + 2y)$. **Ответ:** $(5 - 2y)(5 + 2y)$ 3. $36m^2 - 49n^2$ Снова разность квадратов! $36m^2 = (6m)^2$, а $49n^2 = (7n)^2$. Значит, $(6m)^2 - (7n)^2 = (6m - 7n)(6m + 7n)$. **Ответ:** $(6m - 7n)(6m + 7n)$ 4. $a^2b^2 - 81$ И опять разность квадратов! $a^2b^2 = (ab)^2$, а $81 = 9^2$. Значит, $(ab)^2 - 9^2 = (ab - 9)(ab + 9)$. **Ответ:** $(ab - 9)(ab + 9)$ 5. $100m^6 - 1$ Уже знаешь, что делать! $100m^6 = (10m^3)^2$ (потому что $10^2=100$ и $(m^3)^2 = m^{3 \cdot 2} = m^6$), а $1 = 1^2$. Значит, $(10m^3)^2 - 1^2 = (10m^3 - 1)(10m^3 + 1)$. **Ответ:** $(10m^3 - 1)(10m^3 + 1)$ 6. $a^{10} - b^6$ Ещё один пример на разность квадратов! $a^{10} = (a^5)^2$, а $b^6 = (b^3)^2$. Значит, $(a^5)^2 - (b^3)^2 = (a^5 - b^3)(a^5 + b^3)$. **Ответ:** $(a^5 - b^3)(a^5 + b^3)$ 7. $c^3 - d^3$ А вот теперь другая формула — разность кубов! $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. Здесь $a = c$ и $b = d$. Значит, $c^3 - d^3 = (c - d)(c^2 + cd + d^2)$. **Ответ:** $(c - d)(c^2 + cd + d^2)$ 8. $a^3 + 8$ Это сумма кубов! $8 = 2^3$. Значит, у нас $a^3 + 2^3$. Формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$. Здесь $a = a$ и $b = 2$. Значит, $a^3 + 2^3 = (a + 2)(a^2 - a \cdot 2 + 2^2) = (a + 2)(a^2 - 2a + 4)$. **Ответ:** $(a + 2)(a^2 - 2a + 4)$ 9. $27m^6 - n^9$ И последний пример — снова разность кубов! $27m^6 = (3m^2)^3$ (потому что $3^3 = 27$ и $(m^2)^3 = m^{2 \cdot 3} = m^6$), а $n^9 = (n^3)^3$. Значит, $(3m^2)^3 - (n^3)^3$. Применяем формулу разности кубов, где $a = 3m^2$ и $b = n^3$. $(3m^2 - n^3)((3m^2)^2 + (3m^2)(n^3) + (n^3)^2) = (3m^2 - n^3)(9m^4 + 3m^2n^3 + n^6)$. **Ответ:** $(3m^2 - n^3)(9m^4 + 3m^2n^3 + n^6)