Докажи, что наименьшим значением x² - 8x + 27 является число 11

Привет! Давай разберёмся с этими заданиями. Всё не так сложно, как кажется. Я помогу тебе пройти по каждому шагу. ### 653. Используя выделение квадрата двучлена Этот метод помогает нам превратить часть выражения в полный квадрат, чтобы легче найти его наименьшее или наибольшее значение. **а) докажите, что наименьшим значением выражения $x^2 - 8x + 27$ является число 11** 1. Сначала выделим полный квадрат из $x^2 - 8x$. Для этого используем формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. У нас есть $x^2$ (это $a^2$) и $-8x$ (это $-2ab$). Значит, $-2 ?cdot x ?cdot b = -8x$, откуда $b=4$. Нам не хватает $b^2$, то есть $4^2=16$. 2. Добавим и вычтем 16, чтобы ничего не изменилось: $$x^2 - 8x + 27 = (x^2 - 8x + 16) - 16 + 27$$ 3. Теперь свернём скобку в квадрат, а числа посчитаем: $$(x - 4)^2 + 11$$ 4. Выражение в скобках $(x-4)^2$ в квадрате, а значит, оно никогда не бывает отрицательным. Его самое маленькое значение — это 0 (когда $x=4$). 5. Поэтому наименьшее значение всего выражения будет $0 + 11 = 11$. Что и требовалось доказать! **б) найдите наименьшее значение выражения $a^2 - 4a + 20$** 1. Действуем так же. Выделяем полный квадрат из $a^2 - 4a$. Здесь $b = 4/2 = 2$, значит, нам нужно добавить и вычесть $2^2=4$. $$a^2 - 4a + 20 = (a^2 - 4a + 4) - 4 + 20$$ 2. Сворачиваем скобку и считаем числа: $$(a - 2)^2 + 16$$ 3. Наименьшее значение $(a - 2)^2$ равно 0. Значит, наименьшее значение всего выражения — это $0 + 16 = 16$. **Ответ: 16** ### 654. Решите уравнение Здесь нам понадобится формула для решения квадратных уравнений $ax^2 + bx + c = 0$ через дискриминант ($D = b^2 - 4ac$): $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ **а) $4x^2 + 7x + 3 = 0$** $D = 7^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 49 - 48 = 1$ $x_1 = \frac{-7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 4} = \frac{-6}{8} = -0,75$ $x_2 = \frac{-7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 4} = \frac{-8}{8} = -1$ **Ответ: -1; -0,75** **б) $x^2 + x - 56 = 0$** $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225$ $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 15}{2} = 7$ $x_2 = \frac{-1 - \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 15}{2} = -8$ **Ответ: -8; 7** **в) $x^2 - x - 56 = 0$** $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225$ $x_1 = \frac{1 + \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 15}{2} = 8$ $x_2 = \frac{1 - \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 15}{2} = -7$ **Ответ: -7; 8** **г) $5x^2 - 18x + 16 = 0$** $D = (-18)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 16 = 324 - 320 = 4$ $x_1 = \frac{18 + \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{18 + 2}{10} = 2$ $x_2 = \frac{18 - \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{18 - 2}{10} = 1,6$ **Ответ: 1,6; 2** **д) $8x^2 + x - 75 = 0$** $D = 1^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-75) = 1 + 2400 = 2401$ $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{2401}}{2 \cdot 8} = \frac{-1 + 49}{16} = 3$ $x_2 = \frac{-1 - \sqrt{2401}}{16} = \frac{-50}{16} = -\frac{25}{8} = -3,125$ **Ответ: -3,125; 3** **е) $3x^2 - 11x - 14 = 0$** $D = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-14) = 121 + 168 = 289$ $x_1 = \frac{11 + \sqrt{289}}{2 \cdot 3} = \frac{11 + 17}{6} = \frac{28}{6} = \frac{14}{3}$ $x_2 = \frac{11 - \sqrt{289}}{6} = \frac{11 - 17}{6} = -1$ **Ответ: -1; $14/3$** **ж) $3x^2 + 11x - 34 = 0$** $D = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-34) = 121 + 408 = 529$ $x_1 = \frac{-11 + \sqrt{529}}{2 \cdot 3} = \frac{-11 + 23}{6} = 2$ $x_2 = \frac{-11 - \sqrt{529}}{6} = \frac{-11 - 23}{6} = -\frac{34}{6} = -\frac{17}{3}$ **Ответ: $-17/3$; 2** **з) $x^2 - x - 1 = 0$** $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$ $x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ $x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ **Ответ: $\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$; $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$** ### 655. При каких значениях x верно равенство Здесь нужно раскрыть скобки, перенести всё в одну сторону и решить получившееся уравнение. **а) $(5x + 3)^2 = 5(x + 3)$** $25x^2 + 30x + 9 = 5x + 15$ $25x^2 + 25x - 6 = 0$ $D = 25^2 - 4 \cdot 25 \cdot (-6) = 625 + 600 = 1225$ $x_1 = \frac{-25 + \sqrt{1225}}{50} = \frac{-25 + 35}{50} = \frac{10}{50} = 0,2$ $x_2 = \frac{-25 - 35}{50} = \frac{-60}{50} = -1,2$ **Ответ: -1,2; 0,2** **д) $(5x + 3)^2 = 5x + 3$** Перенесём всё влево: $(5x + 3)^2 - (5x + 3) = 0$. Вынесем $(5x+3)$ за скобку: $(5x + 3)((5x + 3) - 1) = 0$. $(5x + 3)(5x + 2) = 0$. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: $5x+3=0 \implies x = -0,6$ $5x+2=0 \implies x = -0,4$ **Ответ: -0,6; -0,4** **е) $(5x + 3)^2 = (3x + 5)^2$** Если квадраты двух выражений равны, то сами выражения либо равны, либо противоположны. 1) $5x + 3 = 3x + 5 \implies 2x = 2 \implies x = 1$ 2) $5x + 3 = -(3x + 5) \implies 5x + 3 = -3x - 5 \implies 8x = -8 \implies x = -1$ **Ответ: -1; 1** **з) $(2x + 10)^2 = 4(x + 5)^2$** В левой части можно вынести 2 за скобку: $(2(x+5))^2 = 2^2(x+5)^2 = 4(x+5)^2$. Получается равенство: $4(x+5)^2 = 4(x+5)^2$. Это равенство верно при любом значении $x$. **Ответ: $x$ — любое число.** Надеюсь, теперь всё стало понятнее! Если будут ещё вопросы, обращайся.