Представь в виде степени с основанием x выражение (x^6)^2

Привет! Давай разберёмся с этими заданиями. Это совсем несложно, если знать нужные правила. Пойдём по порядку. ### 1. Представьте в виде степени с основанием x Здесь нам понадобятся свойства степеней. Главное помнить: когда мы возводим степень в степень, показатели умножаются ($ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $), а когда умножаем степени с одинаковым основанием — показатели складываются ($ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $). 1) $ (x^6)^2 = x^{6 \cdot 2} = x^{12} $ 2) $ (-x^5)^4 = x^{5 \cdot 4} = x^{20} $ (Так как степень чётная, минус исчезает) 3) $ x^4 x^3 = x^{4+3} = x^7 $ 4) $ ((x^3)^2)^5 = (x^{3 \cdot 2})^5 = (x^6)^5 = x^{6 \cdot 5} = x^{30} $ **Недостаточно данных для точного решения.** Правая часть выражений в пунктах 5 и 6 обрезана на фотографии. ### 2. Упростите выражение Здесь нужно раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. Это как наводить порядок в комнате: сначала всё раскладываем, а потом собираем одинаковые вещи вместе. 1) $ (x-2)(x-11) - 2x(4-3x) = (x^2 - 11x - 2x + 22) - (8x - 6x^2) = x^2 - 13x + 22 - 8x + 6x^2 = \textbf{7x^2 - 21x + 22} $ 2) $ (a+6)(a-3) + (a-4)(a+5) = (a^2 - 3a + 6a - 18) + (a^2 + 5a - 4a - 20) = a^2 + 3a - 18 + a^2 + a - 20 = \textbf{2a^2 + 4a - 38} $ 3) $ (y-8)(2y-1) - (3y+1)(5y-2) = (2y^2 - y - 16y + 8) - (15y^2 - 6y + 5y - 2) = 2y^2 - 17y + 8 - 15y^2 + y + 2 = \textbf{-13y^2 - 16y + 10} $ 4) $ (x+2)^2 - (x-3)(x+3) = (x^2 + 4x + 4) - (x^2 - 9) = x^2 + 4x + 4 - x^2 + 9 = \textbf{4x + 13} $ 5) $ (7a-5b)(7a+5b) - (4a+7b)^2 = (49a^2 - 25b^2) - (16a^2 + 56ab + 49b^2) = 49a^2 - 25b^2 - 16a^2 - 56ab - 49b^2 = \textbf{33a^2 - 74b^2 - 56ab} $ 6) $ (y-2)(y+3) - (y-1)^2 + (5-y)(y+5) = (y^2 + y - 6) - (y^2 - 2y + 1) + (25 - y^2) = y^2 + y - 6 - y^2 + 2y - 1 + 25 - y^2 = \textbf{-y^2 + 3y + 18} $ ### 3. Разложите на множители Это значит, нужно найти что-то общее у всех частей выражения и «вынести» это общее за скобку. 1) $ 8a - 12b = \textbf{4(2a - 3b)} $ 2) $ 3a - ab = \textbf{a(3 - b)} $ 3) $ 6ax + 6ay = \textbf{6a(x + y)} $ 4) $ 4a^2 + 8ac = \textbf{4a(a + 2c)} $ 5) $ a^5 + a^2 = \textbf{a^2(a^3 + 1)} $ 6) $ 12x^2y - 3xy = \textbf{3xy(4x - 1)} $ 7) $ 21a^2b + 28ab^2 = \textbf{7ab(3a + 4b)} $ 8) $ -3x^6 + 12x^{12} = \textbf{3x^6(4x^6 - 1)} $ 9) $ 4a^2 - 8a^3 + 12a^4 = \textbf{4a^2(1 - 2a + 3a^2)} $ 10) $ 6m^3n^2 + 9m^2n - 18mn^2 = \textbf{3mn(2m^2n + 3m - 6n)} $ ### 4. Разложите на множители Здесь используется метод группировки. Мы объединяем слагаемые в группы так, чтобы в каждой группе можно было вынести общий множитель, а потом выносим за скобку уже целое выражение. 1) $ 5a + 5b - am - bm = 5(a+b) - m(a+b) = \textbf{(a+b)(5-m)} $ 2) $ 6m - mn - 6 + n = m(6-n) - (6-n) = \textbf{(m-1)(6-n)} $ 3) $ a^6 + a^4 - 3a^2 - 3 = a^4(a^2+1) - 3(a^2+1) = \textbf{(a^2+1)(a^4-3)} $ 4) $ 10a^2b - 2a^2 + 5ab^2 - ab = 2a^2(5b-1) + ab(5b-1) = (2a^2+ab)(5b-1) = \textbf{a(2a+b)(5b-1)} $ 5) $ 2x^3 - 3x^2y - 4x + 6y = x^2(2x-3y) - 2(2x-3y) = \textbf{(x^2-2)(2x-3y)} $ 6) $ x^2y - x + xy^2 - y = (x^2y+xy^2) - (x+y) = xy(x+y) - 1(x+y) = \textbf{(xy-1)(x+y)} $ ### 5. Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена Тут нужно «свернуть» выражение, используя формулы квадрата суммы $ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 $ или квадрата разности $ (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 $. 1) $ a^2 + 8a + 16 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 4 + 4^2 = \textbf{(a+4)^2} $ 2) $ 9x^2 - 6x + 1 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1^2 = \textbf{(3x-1)^2} $ 3) $ 121m^2 - 88mn + 16n^2 = (11m)^2 - 2 \cdot 11m \cdot 4n + (4n)^2 = \textbf{(11m-4n)^2} $ **Допущение:** Некоторые выражения в заданиях 4 и 5 обрезаны. Решаю, предполагая их наиболее вероятный вид. 4) **Допущение:** выражение $ 36a^2 + 24ab + 4b^2 $. $ 36a^2 + 24ab + 4b^2 = (6a)^2 + 2 \cdot 6a \cdot 2b + (2b)^2 = \textbf{(6a+2b)^2} $ 5) **Допущение:** выражение $ a^6 - 4a^3b^2 + 4b^4 $. $ a^6 - 4a^3b^2 + 4b^4 = (a^3)^2 - 2 \cdot a^3 \cdot 2b^2 + (2b^2)^2 = \textbf{(a^3 - 2b^2)^2} $ **Недостаточно данных для точного решения.** Выражение в пункте 6 обрезано на фотографии. ### 6. Разложите на множители Снова раскладываем на множители, но на этот раз с помощью формулы разности квадратов: $ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $. 1) $ x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = \textbf{(x-2)(x+2)} $ 5) $ x^2y^2 - \frac{4}{9} = (xy)^2 - (\frac{2}{3})^2 = \textbf{(xy - \frac{2}{3})(xy + \frac{2}{3})} $ 6) $ a^4 - b^6 = (a^2)^2 - (b^3)^2 = \textbf{(a^2 - b^3)(a^2 + b^3)} $ **Недостаточно данных для точного решения.** Задания 2, 3 и 4 в этом номере отсутствуют на фото. Ты отлично справляешься! Если что-то непонятно, спрашивай.