Реши уравнение 23. а) x^4 - 17x^2 + 16 = 0

Привет! Давай разберёмся с этими уравнениями. Они только на первый взгляд кажутся сложными. У каждого типа есть свой метод решения. Я покажу, как справиться с каждым из них. ### Номер 23. Биквадратные и похожие уравнения Такие уравнения решаются через замену переменной. Мы сводим их к обычному квадратному уравнению. **а) $x^4 - 17x^2 + 16 = 0$** 1. Это биквадратное уравнение. Сделаем замену: пусть $t = x^2$. Так как $x^2$ не может быть отрицательным, то $t \ge 0$. 2. Получаем квадратное уравнение: $t^2 - 17t + 16 = 0$. 3. Находим его корни (например, по теореме Виета): $t_1 = 1$ и $t_2 = 16$. Оба корня нам подходят, так как они больше нуля. 4. Возвращаемся к замене: - $x^2 = 1 \implies x_1 = 1, x_2 = -1$. - $x^2 = 16 \implies x_3 = 4, x_4 = -4$. **Ответ: -4; -1; 1; 4.** **б) $x^6 - 9x^3 + 8 = 0$** 1. Здесь тоже поможет замена. Пусть $t = x^3$. 2. Получаем: $t^2 - 9t + 8 = 0$. 3. Корни этого уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = 8$. 4. Возвращаемся к $x$: - $x^3 = 1 \implies x_1 = 1$. - $x^3 = 8 \implies x_2 = 2$. **Ответ: 1; 2.** **в) $9x^4 - 40x^2 + 16 = 0$** 1. Снова замена: $t = x^2$ ($t \ge 0$). 2. Уравнение: $9t^2 - 40t + 16 = 0$. 3. Решаем через дискриминант: $D = (-40)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 16 = 1600 - 576 = 1024 = 32^2$. $t_{1,2} = \frac{40 \pm 32}{18}$. $t_1 = \frac{72}{18} = 4$, $t_2 = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$. 4. Обратная замена: - $x^2 = 4 \implies x_{1,2} = \pm 2$. - $x^2 = \frac{4}{9} \implies x_{3,4} = \pm \frac{2}{3}$. **Ответ: -2; $-\frac{2}{3}$; $\frac{2}{3}$; 2.** **г) $x^6 - 7x^3 - 8 = 0$** 1. Замена: $t = x^3$. 2. Уравнение: $t^2 - 7t - 8 = 0$. 3. Корни: $t_1 = 8$ и $t_2 = -1$. 4. Обратная замена: - $x^3 = 8 \implies x_1 = 2$. - $x^3 = -1 \implies x_2 = -1$. **Ответ: -1; 2.** ### Номер 24. Уравнения, решаемые вынесением множителя за скобки **а) $x^3 - 4x^2 + 3x = 0$** 1. Вынесем $x$ за скобку: $x(x^2 - 4x + 3) = 0$. 2. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: - $x = 0$ или - $x^2 - 4x + 3 = 0$. Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 1, x_2 = 3$. **Ответ: 0; 1; 3.** **б) $x^3 - 16x = 0$** 1. Выносим $x$: $x(x^2 - 16) = 0$. 2. Используем формулу разности квадратов: $x(x-4)(x+4)=0$. 3. Корни: $x=0, x=4, x=-4$. **Ответ: -4; 0; 4.** **в) $x^3 + x^2 - 2x = 0$** 1. Выносим $x$: $x(x^2 + x - 2) = 0$. 2. Получаем $x=0$ или $x^2 + x - 2 = 0$. Корни квадратного уравнения: $x_1 = 1, x_2 = -2$. **Ответ: -2; 0; 1.** **г) $x^3 + 6x^2 + 9x = 0$** 1. Выносим $x$: $x(x^2 + 6x + 9) = 0$. 2. Выражение в скобках — это квадрат суммы: $x(x+3)^2=0$. 3. Корни: $x=0, x=-3$. **Ответ: -3; 0.** ### Номер 25. Уравнения, решаемые группировкой или подбором корня **а) $x^3 - 2x^2 + x - 2 = 0$** 1. Сгруппируем слагаемые: $(x^3 - 2x^2) + (x - 2) = 0$. 2. Вынесем общие множители из каждой группы: $x^2(x-2) + 1(x-2) = 0$. 3. Теперь вынесем общую скобку $(x-2)$: $(x-2)(x^2+1)=0$. 4. Получаем: $x-2=0 \implies x=2$ или $x^2+1=0$. Уравнение $x^2 = -1$ не имеет действительных корней. **Ответ: 2.** **б) $x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0$** 1. Попробуем найти целый корень среди делителей свободного члена (числа 6): $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$. 2. Подставим $x=1$: $1^3 - 2(1)^2 - 5(1) + 6 = 1 - 2 - 5 + 6 = 0$. Нам повезло, $x=1$ — корень. 3. Значит, многочлен делится на $(x-1)$. Разделим его (например, столбиком) и получим: $(x-1)(x^2-x-6)=0$. 4. Решаем квадратное уравнение $x^2-x-6=0$. Его корни $x=3$ и $x=-2$. **Ответ: -2; 1; 3.** **в) $2x^3 + x^2 - 8x - 4 = 0$** 1. Сгруппируем: $(2x^3 + x^2) - (8x + 4) = 0$. 2. Вынесем множители: $x^2(2x+1) - 4(2x+1) = 0$. 3. Вынесем скобку $(2x+1)$: $(2x+1)(x^2-4) = 0$. 4. $(2x+1)(x-2)(x+2) = 0$. 5. Корни: $x = -\frac{1}{2}, x=2, x=-2$. **Ответ: -2; -0,5; 2.** **г) $x^3 + 8x^2 + 5x - 50 = 0$** 1. Попробуем найти целый корень среди делителей числа -50. 2. Подставим $x=2$: $2^3 + 8(2)^2 + 5(2) - 50 = 8 + 32 + 10 - 50 = 0$. Значит, $x=2$ — корень. 3. Разделим многочлен на $(x-2)$: $(x-2)(x^2+10x+25)=0$. 4. В скобках видим квадрат суммы: $(x-2)(x+5)^2=0$. 5. Корни: $x=2, x=-5$. **Ответ: -5; 2.** ### Номер 26. Возвратные (симметричные) и другие уравнения **а) $x^4 + 6x^3 + 10x^2 + 6x + 1 = 0$** 1. Это симметричное уравнение. $x=0$ не является корнем, поэтому разделим всё на $x^2$: $x^2 + 6x + 10 + \frac{6}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$. 2. Сгруппируем: $(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 6(x + \frac{1}{x}) + 10 = 0$. 3. Сделаем замену $t = x + \frac{1}{x}$. Тогда $t^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$, откуда $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$. 4. Подставляем в уравнение: $(t^2 - 2) + 6t + 10 = 0 \implies t^2 + 6t + 8 = 0$. 5. Корни для $t$: $t_1 = -2, t_2 = -4$. 6. Возвращаемся к $x$: - $x + \frac{1}{x} = -2 \implies x^2 + 2x + 1 = 0 \implies (x+1)^2=0 \implies x = -1$. - $x + \frac{1}{x} = -4 \implies x^2 + 4x + 1 = 0$. Решаем через дискриминант: $D = 16-4=12$. $x = \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}$. **Ответ: $-2 - \sqrt{3}$; -1; $-2 + \sqrt{3}$.** **б) $4x^4 + 2x^3 - 8x^2 + x + 1 = 0$** 1. Здесь нужно подбирать рациональные корни. Пробуем $x=1$ и $x=1/2$, они подходят. 2. Значит, многочлен делится на $(x-1)$ и $(2x-1)$, то есть на их произведение $2x^2 - 3x + 1$. 3. Разделив, получим: $(2x^2 - 3x + 1)(2x^2 + 4x + 1) = 0$. 4. Из первого множителя корни $x=1$ и $x=1/2$. 5. Решаем $2x^2 + 4x + 1 = 0$. $D = 16-8=8$. $x = \frac{-4 \pm \sqrt{8}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{2}}{2}$. **Ответ: $\frac{-2 - \sqrt{2}}{2}$; 0,5; 1; $\frac{-2 + \sqrt{2}}{2}$.** **в) $x^4 - 9x^3 + 10x^2 - 9x + 1 = 0$** 1. Симметричное уравнение. Делим на $x^2$: $(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 9(x + \frac{1}{x}) + 10 = 0$. 2. Замена $t = x + \frac{1}{x}$ даёт $t^2 - 9t + 8 = 0$. Корни $t_1=1, t_2=8$. 3. Обратная замена: - $x + \frac{1}{x} = 1 \implies x^2 - x + 1 = 0$. Здесь $D < 0$, действительных корней нет. - $x + \frac{1}{x} = 8 \implies x^2 - 8x + 1 = 0$. $D=64-4=60$. $x = \frac{8 \pm \sqrt{60}}{2} = 4 \pm \sqrt{15}$. **Ответ: $4 - \sqrt{15}$; $4 + \sqrt{15}$.** **г) $9x^4 + 3x^3 - 14x^2 - 2x + 4 = 0$** 1. Подбором находим рациональные корни. Подходят $x=1$ и $x = -2/3$. 2. Значит, многочлен делится на $(x-1)$ и $(3x+2)$, то есть на $3x^2 - x - 2$. 3. После деления получаем: $(3x^2 - x - 2)(3x^2 + 2x - 2) = 0$. 4. Из первого множителя корни $x=1$ и $x=-2/3$. 5. Решаем $3x^2 + 2x - 2 = 0$. $D = 4 - 4(3)(-2) = 28$. $x = \frac{-2 \pm \sqrt{28}}{6} = \frac{-1 \pm \sqrt{7}}{3}$. **Ответ: $\frac{-1 - \sqrt{7}}{3}$; $-\frac{2}{3}$; 1; $\frac{-1 + \sqrt{7}}{3}$.** Надеюсь, эти решения помогут тебе разобраться! Если что-то осталось непонятным, спрашивай.