Представь в виде степени с основанием x выражение (x^6)^2

Привет! Давай разберёмся с этими упражнениями. Всё не так сложно, как кажется. ### 1. Представь в виде степени с основанием x Здесь мы используем правила работы со степенями. 1) $(x^6)^2$ Когда степень возводится в степень, показатели перемножаются: $x^{6 \cdot 2} = x^{12}$ **Ответ:** $x^{12}$ 2) $(-x^5)^4$ Чётная степень «убирает» минус: $(-x^5)^4 = (x^5)^4 = x^{5 \cdot 4} = x^{20}$ **Ответ:** $x^{20}$ 3) $x^4x^3$ При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $x^{4+3} = x^7$ **Ответ:** $x^7$ 4) $((x^3)^2)^5$ Показатели просто перемножаются: $x^{3 \cdot 2 \cdot 5} = x^{30}$ **Ответ:** $x^{30}$ 5) $(x^{10})^3 \cdot (x^5)^4$ Сначала возводим в степень, потом умножаем: $x^{10 \cdot 3} \cdot x^{5 \cdot 4} = x^{30} \cdot x^{20} = x^{30+20} = x^{50}$ **Ответ:** $x^{50}$ 6) $(-x^6)^7 \cdot (-x^3)^3 : x^{15}$ Нечётная степень оставляет минус: $(-x^{42}) \cdot (-x^9) : x^{15}$. Минус на минус даёт плюс: $x^{42+9} : x^{15} = x^{51} : x^{15} = x^{51-15} = x^{36}$ **Ответ:** $x^{36}$ ### 2. Упрости выражение Здесь нужно раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. 1) $(x-2)(x-11) - 2x(4-3x) = (x^2 - 11x - 2x + 22) - (8x - 6x^2) = x^2 - 13x + 22 - 8x + 6x^2 = 7x^2 - 21x + 22$ **Ответ:** $7x^2 - 21x + 22$ 2) $(a+6)(a-3) + (a-4)(a+5) = (a^2 - 3a + 6a - 18) + (a^2 + 5a - 4a - 20) = (a^2 + 3a - 18) + (a^2 + a - 20) = 2a^2 + 4a - 38$ **Ответ:** $2a^2 + 4a - 38$ 3) $(y-8)(2y-1) - (3y+1)(5y-2) = (2y^2 - y - 16y + 8) - (15y^2 - 6y + 5y - 2) = (2y^2 - 17y + 8) - (15y^2 - y - 2) = 2y^2 - 17y + 8 - 15y^2 + y + 2 = -13y^2 - 16y + 10$ **Ответ:** $-13y^2 - 16y + 10$ 4) $(x+2)^2 - (x-3)(x+3) = (x^2 + 4x + 4) - (x^2 - 9) = x^2 + 4x + 4 - x^2 + 9 = 4x + 13$ **Ответ:** $4x + 13$ 5) $(7a-5b)(7a+5b) - (4a+7b)^2 = (49a^2 - 25b^2) - (16a^2 + 56ab + 49b^2) = 49a^2 - 25b^2 - 16a^2 - 56ab - 49b^2 = 33a^2 - 56ab - 74b^2$ **Ответ:** $33a^2 - 56ab - 74b^2$ 6) $(y-2)(y+3) - (y-1)^2 + (5-y)(y+5) = (y^2+y-6) - (y^2-2y+1) + (25-y^2) = y^2+y-6-y^2+2y-1+25-y^2 = -y^2 + 3y + 18$ **Ответ:** $-y^2 + 3y + 18$ ### 3. Разложи на множители Тут нужно найти общий множитель и вынести его за скобки. 1) $8a - 12b = 4(2a - 3b)$ **Ответ:** $4(2a - 3b)$ 2) $3a - ab = a(3 - b)$ **Ответ:** $a(3 - b)$ 3) $6ax + 6ay = 6a(x+y)$ **Ответ:** $6a(x+y)$ 4) $4a^2 + 8ac = 4a(a+2c)$ **Ответ:** $4a(a+2c)$ 5) $a^5 + a^2 = a^2(a^3+1)$ **Ответ:** $a^2(a^3+1)$ 6) $12x^2y - 3xy = 3xy(4x-1)$ **Ответ:** $3xy(4x-1)$ 7) $21a^2b + 28ab^2 = 7ab(3a+4b)$ **Ответ:** $7ab(3a+4b)$ 8) $-3x^6 + 12x^{12} = 3x^6(4x^6-1) = 3x^6(2x^3-1)(2x^3+1)$ **Ответ:** $3x^6(2x^3-1)(2x^3+1)$ 9) $4a^2 - 8a^3 + 12a^4 = 4a^2(1 - 2a + 3a^2)$ **Ответ:** $4a^2(1 - 2a + 3a^2)$ 10) $6m^3n^2 + 9m^2n - 18mn^2 = 3mn(2m^2n + 3m - 6n)$ **Ответ:** $3mn(2m^2n + 3m - 6n)$ ### 4. Разложи на множители Здесь будем использовать метод группировки. 1) $5a + 5b - am - bm = (5a+5b) - (am+bm) = 5(a+b) - m(a+b) = (a+b)(5-m)$ **Ответ:** $(a+b)(5-m)$ 2) $6m - mn - 6 + n = (6m-mn) - (6-n) = m(6-n) - 1(6-n) = (m-1)(6-n)$ **Ответ:** $(m-1)(6-n)$ 3) $a^6 + a^4 - 3a^2 - 3 = (a^6+a^4) - (3a^2+3) = a^4(a^2+1) - 3(a^2+1) = (a^4-3)(a^2+1)$ **Ответ:** $(a^4-3)(a^2+1)$ 4) $10a^2b - 2a^2 + 5ab^2 - ab = (10a^2b - 2a^2) + (5ab^2 - ab) = 2a^2(5b-1) + ab(5b-1) = (2a^2+ab)(5b-1) = a(2a+b)(5b-1)$ **Ответ:** $a(2a+b)(5b-1)$ 5) $2x^3 - 3x^2y - 4x + 6y = (2x^3-3x^2y) - (4x-6y) = x^2(2x-3y) - 2(2x-3y) = (x^2-2)(2x-3y)$ **Ответ:** $(x^2-2)(2x-3y)$ 6) $x^2y - x + xy^2 - y = (x^2y+xy^2) - (x+y) = xy(x+y) - 1(x+y) = (xy-1)(x+y)$ **Ответ:** $(xy-1)(x+y)$ ### 5. Представь трёхчлен в виде квадрата двучлена Используем формулы квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. 1) $a^2 + 8a + 16 = (a)^2 + 2 \cdot a \cdot 4 + (4)^2 = (a+4)^2$ **Ответ:** $(a+4)^2$ 2) $9x^2 - 6x + 1 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 1 + (1)^2 = (3x-1)^2$ **Ответ:** $(3x-1)^2$ 3) $121m^2 - 88mn + 16n^2 = (11m)^2 - 2 \cdot 11m \cdot 4n + (4n)^2 = (11m-4n)^2$ **Ответ:** $(11m-4n)^2$ 4) $24ab + 36a^2 + 4b^2 = 36a^2 + 24ab + 4b^2 = (6a)^2 + 2 \cdot 6a \cdot 2b + (2b)^2 = (6a+2b)^2$ **Ответ:** $(6a+2b)^2$ 5) $a^6 - 4a^3b + 4b^2 = (a^3)^2 - 2 \cdot a^3 \cdot 2b + (2b)^2 = (a^3-2b)^2$ **Ответ:** $(a^3-2b)^2$ 6) $25p^{10} + q^8 + 10p^5q^4 = 25p^{10} + 10p^5q^4 + q^8 = (5p^5)^2 + 2 \cdot 5p^5 \cdot q^4 + (q^4)^2 = (5p^5+q^4)^2$ **Ответ:** $(5p^5+q^4)^2$ ### 6. Разложи на множители Здесь нам поможет формула разности квадратов: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. 1) $x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x-2)(x+2)$ **Ответ:** $(x-2)(x+2)$ 2) $25 - 9a^2 = 5^2 - (3a)^2 = (5-3a)(5+3a)$ **Ответ:** $(5-3a)(5+3a)$ 3) $36m^2 - 100n^2 = 4(9m^2-25n^2) = 4((3m)^2-(5n)^2) = 4(3m-5n)(3m+5n)$ **Ответ:** $4(3m-5n)(3m+5n)$ 4) $0.04p^2 - 1.69q^2 = (0.2p)^2 - (1.3q)^2 = (0.2p-1.3q)(0.2p+1.3q)$ **Ответ:** $(0.2p-1.3q)(0.2p+1.3q)$ 5) $x^2y^2 - \frac{4}{9} = (xy)^2 - (\frac{2}{3})^2 = (xy-\frac{2}{3})(xy+\frac{2}{3})$ **Ответ:** $(xy-\frac{2}{3})(xy+\frac{2}{3})$ 6) $a^4 - b^6 = (a^2)^2 - (b^3)^2 = (a^2-b^3)(a^2+b^3)$ **Ответ:** $(a^2-b^3)(a^2+b^3)$ 7) $0.01c^2 - d^8 = (0.1c)^2 - (d^4)^2 = (0.1c-d^4)(0.1c+d^4)$ **Ответ:** $(0.1c-d^4)(0.1c+d^4)$ 8) $-1 + a^4b^8 = a^4b^8 - 1 = (a^2b^4)^2 - 1^2 = (a^2b^4-1)(a^2b^4+1) = (ab^2-1)(ab^2+1)(a^2b^4+1)$ **Ответ:** $(ab^2-1)(ab^2+1)(a^2b^4+1)$ ### 7. Разложи на множители Применяем формулы суммы $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ и разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$. 1) $c^3 + 8 = c^3 + 2^3 = (c+2)(c^2-2c+4)$ **Ответ:** $(c+2)(c^2-2c+4)$ 2) $27a^3 - b^3 = (3a)^3 - b^3 = (3a-b)(9a^2+3ab+b^2)$ **Ответ:** $(3a-b)(9a^2+3ab+b^2)$ 3) $125 + a^3b^3 = 5^3 + (ab)^3 = (5+ab)(25-5ab+a^2b^2)$ **Ответ:** $(5+ab)(25-5ab+a^2b^2)$ 4) **Допущение:** В задании 7.4 выражение $x^6 - y^9$, так как степень $x$ на изображении неразборчива. $x^6 - y^9 = (x^2)^3 - (y^3)^3 = (x^2-y^3)(x^4+x^2y^3+y^6)$ **Ответ:** $(x^2-y^3)(x^4+x^2y^3+y^6)