Реши уравнение x⁴ - 17x² + 16 = 0

Привет! Давай разберёмся с этими уравнениями. Они выглядят сложными, но на самом деле решаются почти как обычные квадратные уравнения. Главный трюк — замена переменной. **а) $x^4 - 17x^2 + 16 = 0$** Это биквадратное уравнение. Давай сделаем его проще. 1. **Сделаем замену.** Пусть $y = x^2$. Так как $x^2$ не может быть отрицательным, то и $y \ge 0$. Тогда $x^4 = (x^2)^2 = y^2$. Наше уравнение превращается в обычное квадратное: $$y^2 - 17y + 16 = 0$$ 2. **Решим квадратное уравнение.** Можно использовать теорему Виета. Сумма корней равна 17, а их произведение — 16. Легко догадаться, что это числа 1 и 16. $y_1 = 1$, $y_2 = 16$. Оба корня нам подходят, потому что они больше нуля. 3. **Вернёмся к $x$.** Теперь подставим найденные значения $y$ обратно в нашу замену $y = x^2$. * Если $y = 1$, то $x^2 = 1$. Отсюда $x = 1$ и $x = -1$. * Если $y = 16$, то $x^2 = 16$. Отсюда $x = 4$ и $x = -4$. **Ответ: $\{-4; -1; 1; 4\}$** **б) $x^6 - 9x^3 + 8 = 0$** Здесь похожий принцип. 1. **Сделаем замену.** Пусть $y = x^3$. Тогда $x^6 = (x^3)^2 = y^2$. Получаем квадратное уравнение: $$y^2 - 9y + 8 = 0$$ 2. **Решим его.** По теореме Виета: сумма корней 9, произведение 8. Это числа 1 и 8. $y_1 = 1$, $y_2 = 8$. 3. **Вернёмся к $x$.** * Если $y = 1$, то $x^3 = 1$. Отсюда $x = 1$. * Если $y = 8$, то $x^3 = 8$. Отсюда $x = 2$. **Ответ: $\{1; 2\}$** **в) $9x^4 - 40x^2 + 16 = 0$** И снова биквадратное уравнение. 1. **Замена.** Пусть $y = x^2$ ($y \ge 0$). $$9y^2 - 40y + 16 = 0$$ 2. **Решим через дискриминант.** $D = (-40)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 16 = 1600 - 576 = 1024 = 32^2$. $$y_1 = \frac{40 - 32}{2 \cdot 9} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$$ $$y_2 = \frac{40 + 32}{2 \cdot 9} = \frac{72}{18} = 4$$ Оба корня подходят. 3. **Обратная замена.** * Если $y = \frac{4}{9}$, то $x^2 = \frac{4}{9}$. Значит, $x = \frac{2}{3}$ и $x = -\frac{2}{3}$. * Если $y = 4$, то $x^2 = 4$. Значит, $x = 2$ и $x = -2$. **Ответ: $\{-2; -\frac{2}{3}; \frac{2}{3}; 2\}$** **г) $x^6 - 7x^3 - 8 = 0$** Действуем так же, как в пункте б). 1. **Замена.** Пусть $y = x^3$. $$y^2 - 7y - 8 = 0$$ 2. **Решим уравнение.** По теореме Виета: сумма корней 7, произведение -8. Это числа 8 и -1. $y_1 = 8$, $y_2 = -1$. 3. **Вернёмся к $x$.** * Если $y = 8$, то $x^3 = 8$. Отсюда $x = 2$. * Если $y = -1$, то $x^3 = -1$. Отсюда $x = -1$. **Ответ: $\{-1; 2\}$**