Представь выражение (x^6)^2 в виде степени с основанием x

Привет! Давай разберёмся с этими заданиями по алгебре. Всё не так сложно, как кажется! ### Задание 1. Представьте в виде степени с основанием x Здесь нам понадобятся правила действий со степенями. Главное помнить: при возведении степени в степень показатели перемножаются, а при умножении степеней с одинаковым основанием — складываются. 1) $(x^6)^2$ $$ (x^6)^2 = x^{6 \cdot 2} = x^{12} $$ **Ответ: $x^{12}$** 2) $(-x^5)^4$ Когда мы возводим отрицательное число в чётную степень (4 — чётное число), минус исчезает. $$ (-x^5)^4 = (x^5)^4 = x^{5 \cdot 4} = x^{20} $$ **Ответ: $x^{20}$** 3) $x^4 x^3$ $$ x^4 \cdot x^3 = x^{4+3} = x^7 $$ **Ответ: $x^7$** 4) $((x^3)^2)^5$ Действуем по порядку, изнутри наружу. $$ ((x^3)^2)^5 = (x^{3 \cdot 2})^5 = (x^6)^5 = x^{6 \cdot 5} = x^{30} $$ **Ответ: $x^{30}$** 5) $(x^{10})^3 \cdot x$ Сначала возводим в степень, потом умножаем. $$ (x^{10})^3 \cdot x = x^{10 \cdot 3} \cdot x^1 = x^{30} \cdot x^1 = x^{30+1} = x^{31} $$ **Ответ: $x^{31}$** 6) $(-x^6)^7 \cdot (-x)^4$ Сначала разбираемся со знаками. Нечётная степень (7) сохраняет минус, а чётная (4) его убирает. $$ (-x^6)^7 = -x^{6 \cdot 7} = -x^{42} $$$$ (-x)^4 = x^4 $$$$ (-x^{42}) \cdot (x^4) = -x^{42+4} = -x^{46} $$ **Ответ: $-x^{46}$** ### Задание 2. Упростите выражение Здесь нужно раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, то есть сложить или вычесть числа с одинаковыми буквами и степенями. 1) $(x - 2)(x - 11) - 2x(4 - 3x) = x^2 - 11x - 2x + 22 - 8x + 6x^2 = 7x^2 - 21x + 22$ **Ответ: $7x^2 - 21x + 22$** 2) $(a + 6)(a - 3) + (a - 4)(a + 5) = a^2 - 3a + 6a - 18 + a^2 + 5a - 4a - 20 = 2a^2 + 4a - 38$ **Ответ: $2a^2 + 4a - 38$** 3) $(y - 8)(2y - 1) - (3y + 1)(5y - 2) = (2y^2 - y - 16y + 8) - (15y^2 - 6y + 5y - 2) = 2y^2 - 17y + 8 - 15y^2 + y + 2 = -13y^2 - 16y + 10$ **Ответ: $-13y^2 - 16y + 10$** 4) $(x + 2)^2 - (x - 3)(x + 3) = (x^2 + 4x + 4) - (x^2 - 9) = x^2 + 4x + 4 - x^2 + 9 = 4x + 13$ **Ответ: $4x + 13$** 5) $(7a - 5b)(7a + 5b) - (4a + 7b)^2 = (49a^2 - 25b^2) - (16a^2 + 56ab + 49b^2) = 49a^2 - 25b^2 - 16a^2 - 56ab - 49b^2 = 33a^2 - 56ab - 74b^2$ **Ответ: $33a^2 - 56ab - 74b^2$** 6) $(y - 2)(y + 3) - (y - 1)^2 + (5 - y)(y + 5) = (y^2 + y - 6) - (y^2 - 2y + 1) + (25 - y^2) = y^2 + y - 6 - y^2 + 2y - 1 + 25 - y^2 = -y^2 + 3y + 18$ **Ответ: $-y^2 + 3y + 18$** ### Задание 3. Разложите на множители Нужно найти общий множитель и вынести его за скобку. 1) $8a - 12b = 4(2a - 3b)$ 2) $3a - ab = a(3 - b)$ 3) $6ax + 6ay = 6a(x + y)$ 4) $4a^2 + 8ac = 4a(a + 2c)$ 5) $a^5 + a^2 = a^2(a^3 + 1)$ 6) $12x^2y - 3xy = 3xy(4x - 1)$ 7) $21a^2b + 28ab^2 = 7ab(3a + 4b)$ 8) $-3x^6 + 12x^{12} = 3x^6(4x^6 - 1) = 3x^6(2x^3 - 1)(2x^3 + 1)$ 9) $4a^2 - 8a^3 + 12a^4 = 4a^2(1 - 2a + 3a^2)$ 10) $6m^3n^2 + 9m^2n - 18mn^2 = 3mn(2m^2n + 3m - 6n)$ ### Задание 4. Разложите на множители Здесь используем метод группировки: объединяем слагаемые в группы, выносим в каждой группе общий множитель, а потом выносим общую скобку. 1) $5a + 5b - am - bm = (5a + 5b) - (am + bm) = 5(a+b) - m(a+b) = (a+b)(5-m)$ 2) $6m - mn - 6 + n = (6m - mn) - (6 - n) = m(6-n) - 1(6-n) = (6-n)(m-1)$ 3) $a^6 + a^4 - 3a^2 - 3 = (a^6 + a^4) - (3a^2 + 3) = a^4(a^2+1) - 3(a^2+1) = (a^2+1)(a^4-3)$ 4) **Допущение:** Полный текст примера — $10a^2b - 2a^2 + 5b - 1$, так как часть условия не видна. $10a^2b - 2a^2 + 5b - 1 = (10a^2b - 2a^2) + (5b - 1) = 2a^2(5b-1) + 1(5b-1) = (2a^2+1)(5b-1)$ 5) $2x^3 - 3x^2y - 2x + 3y = (2x^3 - 3x^2y) - (2x - 3y) = x^2(2x-3y) - 1(2x-3y) = (x^2-1)(2x-3y) = (x-1)(x+1)(2x-3y)$ 6) $x^2y - x + xy^2 - y = (x^2y + xy^2) - (x + y) = xy(x+y) - 1(x+y) = (xy-1)(x+y)$ ### Задание 5. Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена Вспоминаем формулы квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$. 1) $a^2 + 8a + 16 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 4 + 4^2 = (a+4)^2$ 2) $9x^2 - 6x + 1 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1^2 = (3x-1)^2$ 3) $121m^2 - 88mn + 16n^2 = (11m)^2 - 2 \cdot 11m \cdot 4n + (4n)^2 = (11m-4n)^2$ 4) $24ab + 36a^2 + 4b^2 = 36a^2 + 24ab + 4b^2 = (6a)^2 + 2 \cdot 6a \cdot 2b + (2b)^2 = (6a+2b)^2$ 5) $a^6 - 4a^3b^2 + 4b^4 = (a^3)^2 - 2 \cdot a^3 \cdot 2b^2 + (2b^2)^2 = (a^3-2b^2)^2$ 6) $25p^{10} + 10p^5 + 1 = (5p^5)^2 + 2 \cdot 5p^5 \cdot 1 + 1^2 = (5p^5+1)^2$ ### Задание 6. Разложите на множители Тут нам поможет формула разности квадратов: $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$. *Задания 2, 3, 4 из этого номера не видны на изображении, поэтому решаю те, что есть.* 1) $x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x-2)(x+2)$ 5) $x^2y^2 - \frac{4}{9} = (xy)^2 - (\frac{2}{3})^2 = (xy - \frac{2}{3})(xy + \frac{2}{3})$ 6) $a^4 - b^6 = (a^2)^2 - (b^3)^2 = (a^2-b^3)(a^2+b^3)$ Ты отлично справляешься! Если что-то непонятно, просто спроси.