Реши уравнение x⁴ - 17x² + 16 = 0

Привет! Давай разберёмся с этими уравнениями. Они выглядят сложными, но на самом деле решаются довольно просто с помощью одного хитрого приёма — замены переменной. ### а) $x^4 - 17x^2 + 16 = 0$ Это биквадратное уравнение. Давай заменим $x^2$ на новую переменную, например, $t$. Тогда $x^4$ станет $(x^2)^2 = t^2$. Получим обычное квадратное уравнение: $$t^2 - 17t + 16 = 0$$ Найдём его корни. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 17, а их произведение — 16. Легко догадаться, что это числа 1 и 16. $t_1 = 1$, $t_2 = 16$. Теперь вернёмся к нашей замене и найдём $x$. 1. Если $x^2 = t_1 = 1$, то $x = \pm\sqrt{1}$, то есть $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$. 2. Если $x^2 = t_2 = 16$, то $x = \pm\sqrt{16}$, то есть $x_3 = 4$ и $x_4 = -4$. **Ответ: $\pm 1; \pm 4$** ### б) $x^6 - 9x^3 + 8 = 0$ Это уравнение тоже решается заменой. Заметим, что $x^6 = (x^3)^2$. Сделаем замену $t = x^3$. Получаем квадратное уравнение: $$t^2 - 9t + 8 = 0$$ По теореме Виета, сумма корней 9, произведение 8. Значит, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 8$. Возвращаемся к замене: 1. Если $x^3 = t_1 = 1$, то $x_1 = \sqrt[3]{1} = 1$. 2. Если $x^3 = t_2 = 8$, то $x_2 = \sqrt[3]{8} = 2$. **Ответ: $1; 2$** ### в) $9x^4 - 40x^2 + 16 = 0$ Снова биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$. Получаем: $$9t^2 - 40t + 16 = 0$$ Решим его через дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = (-40)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 16 = 1600 - 576 = 1024 = 32^2$$ Теперь найдём корни для $t$: $$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{40 + 32}{2 \cdot 9} = \frac{72}{18} = 4$$ $$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{40 - 32}{2 \cdot 9} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$$ Возвращаемся к $x$: 1. Если $x^2 = t_1 = 4$, то $x = \pm\sqrt{4}$, то есть $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$. 2. Если $x^2 = t_2 = \frac{4}{9}$, то $x = \pm\sqrt{\frac{4}{9}}$, то есть $x_3 = \frac{2}{3}$ и $x_4 = -\frac{2}{3}$. **Ответ: $\pm 2; \pm \frac{2}{3}$** ### г) $x^6 - 7x^3 - 8 = 0$ И последнее уравнение, похожее на второе. Сделаем замену $t = x^3$. Получаем: $$t^2 - 7t - 8 = 0$$ По теореме Виета: сумма корней 7, произведение -8. Корни $t_1 = 8$ и $t_2 = -1$. Возвращаемся к замене: 1. Если $x^3 = t_1 = 8$, то $x_1 = \sqrt[3]{8} = 2$. 2. Если $x^3 = t_2 = -1$, то $x_2 = \sqrt[3]{-1} = -1$. **Ответ: $-1; 2$** Вот и всё! Как видишь, главное — заметить возможность замены, и тогда всё становится гораздо проще. У тебя отлично получается!