Раскрой скобки в выражении (x+y)^2

Привет! На этой картинке — формулы сокращённого умножения. Они — настоящие помощники в алгебре, как короткий путь в решении задач. Эти формулы помогают быстро раскрывать скобки или, наоборот, сворачивать большие выражения в более короткие. Давай разберём несколько примеров из твоей таблицы, чтобы стало понятнее. ### Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ Эта формула говорит, что квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого, плюс удвоенное произведение первого на второе, плюс квадрат второго. * **Пример из таблицы (строка 1, столбец 3):** $(a+12)^2$ Здесь $a$ — это $a$, а $b$ — это $12$. $$ (a+12)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 12 + 12^2 = a^2 + 24a + 144 $$ ### Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ Очень похожа на предыдущую, только перед удвоенным произведением стоит минус. * **Пример из таблицы (строка 1, столбец 4):** $(y-9)^2$ Здесь $a$ — это $y$, а $b$ — это $9$. $$ (y-9)^2 = y^2 - 2 \cdot y \cdot 9 + 9^2 = y^2 - 18y + 81 $$ ### Разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ Разность квадратов двух выражений равна произведению их разности и их суммы. Эта формула часто используется в обратную сторону, чтобы свернуть выражение. * **Пример из таблицы (строка 4, столбец 2):** $b^2 - 49$ Мы видим разность двух квадратов: $b^2$ и $49 = 7^2$. Значит, $a = b$, а $b=7$. $$ b^2 - 49 = b^2 - 7^2 = (b-7)(b+7) $$ ### Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ Разность кубов равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы. * **Пример из таблицы (строка 11, столбец 2):** $125 - b^3$ Представим $125$ как куб числа. $125 = 5^3$. Получаем: $a = 5$, $b = b$. $$ 125 - b^3 = 5^3 - b^3 = (5-b)(5^2 + 5 \cdot b + b^2) = (5-b)(25+5b+b^2) $$ ### Как свернуть выражение в квадрат Иногда нужно сделать наоборот — из трёх слагаемых получить скобку в квадрате. * **Пример из таблицы (строка 2, столбец 2):** $25b^2 - 10b + 1$ 1. Посмотрим на первое слагаемое: $25b^2 = (5b)^2$. Возможно, это наше $a^2$. 2. Посмотрим на последнее слагаемое: $1 = 1^2$. Возможно, это наше $b^2$. 3. Проверим среднее слагаемое. Знак «минус» подсказывает, что это может быть квадрат разности $(a-b)^2$. По формуле, среднее слагаемое должно быть $-2ab$. Подставим наши $a=5b$ и $b=1$: $-2 \cdot (5b) \cdot 1 = -10b$. 4. Всё сходится! Значит, выражение можно свернуть. $$ 25b^2 - 10b + 1 = (5b-1)^2 $$ Надеюсь, эти примеры помогли тебе разобраться! Если есть вопросы по какому-то конкретному номеру, смело спрашивай.