Чему равны проекции вектора r на оси X и Y, если его модуль равен 1 м, а направлен он под углом 30° к оси X?

Привет! Давай разберёмся с этими задачами. Всё не так сложно, как может показаться. ### A1. Проекции вектора на оси Чтобы найти проекции вектора на оси, нужно его модуль умножить на косинус угла для оси X и на синус угла для оси Y. * **Дано:** Модуль вектора $|\vec{r}| = 1$ м, угол $\alpha = 30°$. * **Проекция на ось X:** $r_x = |\vec{r}| \cdot \cos(\alpha) = 1 \cdot \cos(30°) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,87$ м. * **Проекция на ось Y:** $r_y = |\vec{r}| \cdot \sin(\alpha) = 1 \cdot \sin(30°) = 1 \cdot 0,5 = 0,5$ м. **Правильный ответ: 3** (0,87; 0,5) ### A2. Проекции вектора на оси (другой угол) Здесь всё то же самое, только угол другой. * **Дано:** Модуль вектора $|\vec{r}| = 2$ м, угол $\alpha = 135°$. * **Проекция на ось X:** $r_x = 2 \cdot \cos(135°) = 2 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\sqrt{2} \approx -1,41$ м. * **Проекция на ось Y:** $r_y = 2 \cdot \sin(135°) = 2 \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \approx 1,41$ м. **Правильный ответ: 4** (–1,41; 1,41) ### A3. Модуль вектора нового положения Сначала найдём новые координаты точки. Начальные были $(3; 0)$. Координата $y$ изменилась на 4 (то есть стала $0+4=4$), а про координату $x$ ничего не сказано, значит, она не изменилась. Новое положение точки — $(3; 4)$. Теперь найдём модуль (длину) этого вектора по теореме Пифагора: $$|\vec{r}| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ м}$$ **Правильный ответ: 2** (5 м) ### A4. Кинематические уравнения движения Нам нужно описать, как менялись координаты точки со временем. * Начальное положение: $(4; 0; 0)$. * Конечное положение: $(4; 0; 3)$. Смотрим, что изменилось: * Координата $x$ была 4 и осталась 4. Значит, $x = 4$. * Координата $y$ была 0 и осталась 0. Значит, $y = 0$. * Координата $z$ была 0, а стала 3. Значит, она менялась со временем. Обозначим это как $z = z(t)$. Получаем систему уравнений: $x = 4$, $y = 0$, $z = z(t)$. **Правильный ответ: 4** ### A5. Угол движения Точка двигалась из начального положения $\vec{r_0}(3; 0)$ в конечное $\vec{r}(0; 3)$. Чтобы найти направление движения, найдём вектор перемещения, вычтя из конечных координат начальные: $$\Delta \vec{r} = \vec{r} - \vec{r_0} = (0-3; 3-0) = (-3; 3)$$ Этот вектор имеет отрицательную координату по X и положительную по Y, значит, он направлен во вторую четверть координатной плоскости. Угол с осью OX для такого вектора равен $135°$. Можно проверить через тангенс угла: $$\text{tg}(\phi) = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{3}{-3} = -1$$ Тангенс равен –1 для углов $135°$ и $315°$. Нам подходит $135°$, так как это угол во второй четверти. **Правильный ответ: 3** (135°)