Проверьте, выполнив деление: а) 2,(3) = 2 1/3

Привет! Давай разберёмся с этими заданиями. Это отличная тренировка для работы с дробями! ### Задание 9 Нужно проверить, верны ли равенства. Для этого мы будем превращать обычные дроби в десятичные, деля числитель на знаменатель. **а) $2,(3) = 2\frac{1}{3}$** Проверим дробную часть $\frac{1}{3}$. Разделим 1 на 3: $1 \div 3 = 0,333... = 0,(3)$. Значит, $2\frac{1}{3} = 2 + \frac{1}{3} = 2 + 0,(3) = 2,(3)$. **Равенство верное.** **б) $0,1(6) = \frac{1}{6}$** Разделим 1 на 6: $1 \div 6 = 0,1666... = 0,1(6)$. **Равенство верное.** **в) $7,(18) = 7\frac{2}{11}$** Проверим дробную часть $\frac{2}{11}$. Разделим 2 на 11: $2 \div 11 = 0,181818... = 0,(18)$. Значит, $7\frac{2}{11} = 7 + \frac{2}{11} = 7 + 0,(18) = 7,(18)$. **Равенство верное.** **г) $3,4(6) = 3\frac{7}{15}$** Проверим дробную часть $\frac{7}{15}$. Разделим 7 на 15: $7 \div 15 = 0,4666... = 0,4(6)$. Значит, $3\frac{7}{15} = 3 + \frac{7}{15} = 3 + 0,4(6) = 3,4(6)$. **Равенство верное.** ### Задание 10 Здесь нам нужно доказать, что если мы будем вычитать, умножать или делить два рациональных числа, то в результате тоже всегда получится рациональное число. Давай сначала вспомним, что **рациональное число** — это любое число, которое можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — целое число, не равное нулю. Возьмём два любых рациональных числа, назовём их $a$ и $b$. Их можно записать так: $$a = \frac{p_1}{q_1}$$ $$b = \frac{p_2}{q_2}$$ Здесь $p_1$ и $p_2$ — целые числа, а $q_1$ и $q_2$ — целые числа, не равные нулю. **1. Разность ($a - b$)** $$a - b = \frac{p_1}{q_1} - \frac{p_2}{q_2} = \frac{p_1 q_2 - p_2 q_1}{q_1 q_2}$$ * В числителе ($p_1 q_2 - p_2 q_1$) мы умножаем и вычитаем целые числа. Результат всегда будет целым числом. * В знаменателе ($q_1 q_2$) мы умножаем два числа, которые не равны нулю. Результат тоже не будет равен нулю. Мы получили новую дробь, которая подходит под определение рационального числа. Значит, **разность двух рациональных чисел — рациональное число**. **2. Произведение ($a \cdot b$)** $$a \cdot b = \frac{p_1}{q_1} \cdot \frac{p_2}{q_2} = \frac{p_1 p_2}{q_1 q_2}$$ * Числитель ($p_1 p_2$) — это произведение двух целых чисел, что тоже является целым числом. * Знаменатель ($q_1 q_2$) — это произведение двух ненулевых целых чисел, поэтому он тоже не равен нулю. Снова получилась дробь нужного вида. Значит, **произведение двух рациональных чисел — рациональное число**. **3. Частное ($a \div b$)** (при условии, что $b$ не равно 0) Если $b$ не равно 0, значит и его числитель $p_2$ тоже не равен 0. $$a \div b = \frac{p_1}{q_1} \div \frac{p_2}{q_2} = \frac{p_1}{q_1} \cdot \frac{q_2}{p_2} = \frac{p_1 q_2}{q_1 p_2}$$ * Числитель ($p_1 q_2$) — целое число. * Знаменатель ($q_1 p_2$) — это произведение двух ненулевых целых чисел ($q_1 \neq 0$ и $p_2 \neq 0$), значит, он не равен нулю. Результат снова является рациональным числом. Значит, **частное двух рациональных чисел (где делитель не ноль) — рациональное число**. Мы всё доказали! Отличная работа!