Проверь, выполнив деление: а) 2,(3) = 2 1/3

Привет! Давай разберёмся с этими заданиями. Всё не так сложно, как может показаться. ### Задание 9 Здесь нужно проверить, верны ли равенства. Для этого мы будем делить числитель дроби на её знаменатель, как в столбик. **а) Проверим, что $2\frac{1}{3} = 2,(3)$** Нам нужно разделить 1 на 3. $$ \begin{array}{cc|l} 1 & 0 & 3 \\ \hline & 9 & 0,333... \\ \hline & 1 & 0 \\ & & 9 \\ \hline & & 1 \end{array} $$ Как видишь, у нас всё время получается остаток 1, и мы добавляем 0, поэтому в ответе тройка будет повторяться бесконечно. Получаем $1 \div 3 = 0,333... = 0,(3)$. Значит, $2\frac{1}{3} = 2 + \frac{1}{3} = 2 + 0,(3) = 2,(3)$. **Равенство верное.** **б) Проверим, что $\frac{1}{6} = 0,1(6)$** Делим 1 на 6 столбиком. $$ \begin{array}{ccc|l} 1 & 0 & & 6 \\ \hline & 6 & & 0,166... \\ \hline & 4 & 0 \\ & 3 & 6 \\ \hline & & 4 & 0 \\ & & 3 & 6 \\ \hline & & & 4 \end{array} $$ Здесь после первого шага остаток 4 начинает повторяться, а значит, и шестёрка в ответе будет повторяться бесконечно. Получаем $1 \div 6 = 0,1666... = 0,1(6)$. **Равенство верное.** **в) Проверим, что $7\frac{2}{11} = 7,(18)$** Делим 2 на 11. $$ \begin{array}{ccc|l} 2 & 0 & & 11 \\ \hline 1 & 1 & & 0,1818... \\ \hline & 9 & 0 \\ & 8 & 8 \\ \hline & & 2 & 0 \\ & & 1 & 1 \\ \hline & & & 9 \end{array} $$ Тут остатки 9 и 2 чередуются, поэтому в ответе будет повторяться группа цифр 18. Получаем $2 \div 11 = 0,1818... = 0,(18)$. Значит, $7\frac{2}{11} = 7 + 0,(18) = 7,(18)$. **Равенство верное.** **г) Проверим, что $3\frac{7}{15} = 3,4(6)$** Делим 7 на 15. $$ \begin{array}{ccc|l} 7 & 0 & & 15 \\ \hline 6 & 0 & & 0,466... \\ \hline 1 & 0 & 0 \\ & 9 & 0 \\ \hline & 1 & 0 & 0 \\ & & 9 & 0 \\ \hline & & 1 & 0 \end{array} $$ После второго шага у нас постоянно получается остаток 10, поэтому шестёрка в ответе будет повторяться. Получаем $7 \div 15 = 0,4666... = 0,4(6)$. Значит, $3\frac{7}{15} = 3 + 0,4(6) = 3,4(6)$. **Равенство верное.** ### Задание 10 Здесь нужно доказать, что если мы будем вычитать, умножать или делить два рациональных числа, то в результате тоже получится рациональное число. **Что такое рациональное число?** Это любое число, которое можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — целое число, не равное нулю. Давай возьмём два любых рациональных числа. Пусть это будут $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$. Здесь $a, c$ — любые целые числа, а $b, d$ — целые числа, не равные нулю. 1. **Разность (вычитание)** $$ \frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd} $$ В числителе у нас $ad - bc$. Так как мы умножаем и вычитаем целые числа, результат тоже будет целым. В знаменателе у нас $bd$. Так как $b$ и $d$ не равны нулю, их произведение тоже не равно нулю. Получилась дробь, где в числителе и знаменателе целые числа, и знаменатель не ноль. Значит, разность — это рациональное число. 2. **Произведение (умножение)** $$ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} $$ Числитель $ac$ — целое число (произведение целых). Знаменатель $bd$ — целое, не равное нулю. Значит, произведение — тоже рациональное число. 3. **Частное (деление)** По условию, делитель не равен нулю, значит, наша вторая дробь $\frac{c}{d}$ не ноль, а это значит, что $c$ тоже не ноль. $$ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc} $$ Числитель $ad$ — целое число. Знаменатель $bc$ — целое и не равно нулю, потому что $b \neq 0$ и $c \neq 0$. Значит, частное — снова рациональное число. Вот и всё доказательство! Мы показали, что все эти операции над рациональными числами снова дают рациональное число. Если что-то непонятно, спрашивай! Удачи!