Упростите выражение 1/x^2 + (x-2)/x

Привет! Давай разберёмся с этими примерами. Упростить выражение — значит сделать его как можно короче и проще. ### Задание 1 **а) $\frac{1}{x^2} + \frac{x-2}{x}$** 1. Чтобы сложить дроби, нам нужен общий знаменатель. Здесь это $x^2$. 2. Домножим вторую дробь на $x$: $$ \frac{x-2}{x} = \frac{(x-2) \cdot x}{x \cdot x} = \frac{x^2 - 2x}{x^2} $$ 3. Теперь сложим дроби: $$ \frac{1}{x^2} + \frac{x^2 - 2x}{x^2} = \frac{1 + x^2 - 2x}{x^2} $$ 4. В числителе у нас получилась формула квадрата разности: $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$. **Ответ: $\frac{(x-1)^2}{x^2}$** **б) $\frac{3}{x+y} + \frac{5}{x-y}$** 1. Здесь общий знаменатель — это произведение знаменателей: $(x+y)(x-y)$. 2. Первую дробь домножим на $(x-y)$, а вторую на $(x+y)$: $$ \frac{3(x-y)}{(x+y)(x-y)} + \frac{5(x+y)}{(x-y)(x+y)} $$ 3. Сложим числители: $$ \frac{3x - 3y + 5x + 5y}{(x+y)(x-y)} = \frac{8x + 2y}{x^2 - y^2} $$ 4. Можно вынести общий множитель 2 в числителе. **Ответ: $\frac{2(4x+y)}{x^2 - y^2}$** **в) $\frac{1-5d^2}{d^6} - \frac{d-5}{d^4} + \frac{1}{d^3}$** 1. Общий знаменатель для $d^6$, $d^4$ и $d^3$ — это $d^6$ (старшая степень). 2. Домножим вторую дробь на $d^2$, а третью — на $d^3$: $$ \frac{1-5d^2}{d^6} - \frac{(d-5)d^2}{d^6} + \frac{d^3}{d^6} $$ 3. Запишем всё под одним знаменателем. Будь внимателен со знаком «минус» перед второй дробью: $$ \frac{(1-5d^2) - (d^3 - 5d^2) + d^3}{d^6} = \frac{1 - 5d^2 - d^3 + 5d^2 + d^3}{d^6} $$ 4. Сократим одинаковые слагаемые с разными знаками в числителе: $$ \frac{1}{d^6} $$ **Ответ: $\frac{1}{d^6}$** **г) $\frac{5c}{6c-6} - \frac{4c}{3c+3} + \frac{c^2}{2c^2-2}$** 1. Сначала разложим знаменатели на множители, чтобы найти общий: * $6c-6 = 6(c-1)$ * $3c+3 = 3(c+1)$ * $2c^2-2 = 2(c^2-1) = 2(c-1)(c+1)$ 2. Общий знаменатель будет $6(c-1)(c+1)$. 3. Приведём все дроби к этому знаменателю: $$ \frac{5c(c+1)}{6(c-1)(c+1)} - \frac{4c \cdot 2(c-1)}{6(c-1)(c+1)} + \frac{c^2 \cdot 3}{6(c-1)(c+1)} $$ 4. Выполним действия в числителе: $$ \frac{5c^2 + 5c - (8c^2 - 8c) + 3c^2}{6(c-1)(c+1)} = \frac{5c^2 + 5c - 8c^2 + 8c + 3c^2}{6(c-1)(c+1)} $$ 5. Сложим подобные слагаемые: * $5c^2 - 8c^2 + 3c^2 = 0$ * $5c + 8c = 13c$ **Ответ: $\frac{13c}{6(c-1)(c+1)}$ или $\frac{13c}{6(c^2-1)}$**