Упрости выражение (3a - 7) + (4 - a)

Привет! Давай разберемся с этими заданиями. Всё не так сложно, как кажется. Я покажу, как решать некоторые из них, чтобы тебе было понятнее. ### C-1. Преобразование целого выражения в многочлен **1. Упростите выражение:** а) $(3a - 7) + (4 - a)$ Чтобы упростить, нужно раскрыть скобки и сложить или вычесть похожие друг на друга части — с буквой `a` и просто числа. 1. **Раскрываем скобки.** Перед ними стоит знак «+», поэтому знаки внутри не меняются: $$ (3a - 7) + (4 - a) = 3a - 7 + 4 - a $$ 2. **Группируем подобные.** Собираем вместе слагаемые с `a` и числа: $$ (3a - a) + (-7 + 4) $$ 3. **Считаем:** $$ 2a - 3 $$ **Ответ: $2a - 3$** **2. Представьте в виде многочлена:** 2) а) $(b + 3)(b - 5)$ Здесь нужно умножить каждую часть из первой скобки на каждую часть из второй. Этот метод часто называют «фонтанчиком». 1. Умножаем `b` на `b` и на `-5`: $$ b \cdot b = b^2 $$$$ b \cdot (-5) = -5b $$ 2. Умножаем `3` на `b` и на `-5`: $$ 3 \cdot b = 3b $$$$ 3 \cdot (-5) = -15 $$ 3. Собираем всё вместе и находим подобные: $$ b^2 - 5b + 3b - 15 = b^2 - 2b - 15 $$ **Ответ: $b^2 - 2b - 15$** **4. Представьте в виде многочлена:** 1) а) $(x - 8)(x + 8)$ Это выражение можно раскрыть по формуле сокращенного умножения, которая называется **«разность квадратов»**: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. Она очень помогает! * В нашем примере $a = x$, а $b = 8$. * Подставляем в формулу: $(x - 8)(x + 8) = x^2 - 8^2$. * Считаем $8^2 = 64$. **Ответ: $x^2 - 64$** 2) а) $(y + 3)^2$ А это другая полезная формула — **«квадрат суммы»**: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. * Здесь $a = y$, а $b = 3$. * Подставляем в формулу: $(y + 3)^2 = y^2 + 2 \cdot y \cdot 3 + 3^2$. * Упрощаем: $y^2 + 6y + 9$. **Ответ: $y^2 + 6y + 9$** **5. Докажите, что выражение $(a - 4)(a + 8) - 4(a - 9)$ при любом $a$ принимает положительное значение.** Чтобы это доказать, давай сначала упростим выражение. 1. **Раскрываем скобки:** $$ (a - 4)(a + 8) = a^2 + 8a - 4a - 32 = a^2 + 4a - 32 $$$$ -4(a - 9) = -4a + 36 $$ 2. **Собираем всё вместе и приводим подобные:** $$ a^2 + 4a - 32 - 4a + 36 = a^2 + (4a - 4a) + (-32 + 36) = a^2 + 4 $$ 3. **Анализируем результат $a^2 + 4$:** * Любое число в квадрате ($a^2$) всегда будет больше или равно нулю ($a^2 \ge 0$). * Если к такому числу ($a^2$) прибавить 4, результат всегда будет положительным. Значит, выражение $a^2 + 4$ всегда больше нуля. Что и требовалось доказать! ### С-2. Разложение на множители **1. Представьте многочлен в виде произведения:** 2) а) $ax - 3a + bx - 3b$ Используем метод группировки — объединим слагаемые в пары. 1. **Группируем:** $(ax - 3a) + (bx - 3b)$. 2. **Выносим общий множитель** из каждой скобки: * Из первой $a$: $a(x - 3)$. * Из второй $b$: $b(x - 3)$. 3. Получается: $a(x - 3) + b(x - 3)$. 4. Теперь общим множителем стала целая скобка $(x - 3)$. Выносим её: $$ (x - 3)(a + b) $$ **Ответ: $(x - 3)(a + b)$** **2. Разложите на множители:** 1) а) $y^2 - 9$ Снова используем формулу **«разность квадратов»** $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. * Замечаем, что $y^2$ это квадрат $y$, а $9$ это квадрат $3$. * Значит, $a=y$, $b=3$. * Получаем: $y^2 - 3^2 = (y - 3)(y + 3)$. **Ответ: $(y - 3)(y + 3)$** **3. Разложите на множители:** 3) а) $x^2 - y^2 + x + y$ Тут нужно скомбинировать несколько приёмов. 1. **Применяем формулу.** Первые два слагаемых $x^2 - y^2$ — это разность квадратов: $$ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) $$ 2. **Переписываем всё выражение:** $$ (x - y)(x + y) + (x + y) $$ 3. **Выносим общую скобку** $(x + y)$: $$ (x + y) \cdot ((x - y) + 1) $$ 4. Убираем внутренние скобки: $$ (x + y)(x - y + 1) $$ **Ответ: $(x + y)(x - y + 1)$**