Разложите на множители: x(a+c)-x(a+b)

Привет! Разложить выражение на множители — это значит представить его в виде произведения. Чаще всего для этого нужно найти общий элемент и вынести его за скобки. Давай посмотрим, как это делается. ### 1. Вынесение общего множителя-переменной а) $x(a+c) - x(a+b)$ Здесь в обеих частях есть общий множитель $x$. Выносим его: $$x((a+c) - (a+b)) = x(a+c-a-b) = x(c-b)$$ **Ответ: $x(c-b)$** б) $y(2a+3b) - y(3a-b)$ Общий множитель — $y$. Выносим его за скобку и упрощаем выражение внутри: $$y((2a+3b) - (3a-b)) = y(2a+3b-3a+b) = y(4b-a)$$ **Ответ: $y(4b-a)$** в) $2p(a+2x) + p(3a-x)$ Общий множитель — $p$. Выносим его и работаем с тем, что осталось в скобках: $$p(2(a+2x) + (3a-x)) = p(2a+4x+3a-x) = p(5a+3x)$$ **Ответ: $p(5a+3x)$** г) $c^2(3a-7c) - c^2(5a+3c)$ Общий множитель — $c^2$. Выносим его: $$c^2((3a-7c) - (5a+3c)) = c^2(3a-7c-5a-3c) = c^2(-2a-10c)$$ В скобках можно вынести за скобку ещё и $-2$: $$-2c^2(a+5c)$$ **Ответ: $-2c^2(a+5c)$** ### 2. Вынесение общего множителя-скобки а) $y(a+c) + x(a+c)$ Тут общий множитель — это целое выражение в скобках $(a+c)$. Представь, что это одна большая буква. Выносим её: $$(a+c)(y+x)$$ **Ответ: $(a+c)(x+y)$** б) $x(3a+c) - z(3a+c)$ То же самое, общий множитель — скобка $(3a+c)$: $$(3a+c)(x-z)$$ **Ответ: $(3a+c)(x-z)$** в) $x(2x+3) - 3(2x+3)$ Общий множитель — $(2x+3)$: $$(2x+3)(x-3)$$ **Ответ: $(2x+3)(x-3)$** г) $2k(3k-4) + (3k-4)$ Общий множитель — $(3k-4)$. Второе слагаемое $(3k-4)$ — это то же самое, что и $1 \cdot (3k-4)$: $$(3k-4)(2k+1)$$ **Ответ: $(3k-4)(2k+1)$** ### 3. Хитрость со сменой знаков Иногда, чтобы найти общий множитель, нужно поменять знаки в одной из скобок. Запомни правило: $a-b = -(b-a)$. а) $a(b-c) + c(c-b)$ Заметим, что $(c-b) = -(b-c)$. Заменим это в выражении: $$a(b-c) + c(-(b-c)) = a(b-c) - c(b-c)$$ Теперь общий множитель $(b-c)$ виден сразу: $$(b-c)(a-c)$$ **Ответ: $(b-c)(a-c)$** б) $2x(m-n) - (n-m)$ Здесь тоже $(n-m) = -(m-n)$. Подставляем: $$2x(m-n) - (-(m-n)) = 2x(m-n) + (m-n)$$ Теперь выносим $(m-n)$: $$(m-n)(2x+1)$$ **Ответ: $(m-n)(2x+1)$** в) $3c(x-y) - x(y-x)$ Меняем знаки в $(y-x)$, чтобы получить $(x-y)$: $$3c(x-y) - x(-(x-y)) = 3c(x-y) + x(x-y)$$ Выносим общий множитель $(x-y)$: $$(x-y)(3c+x)$$ **Ответ: $(x-y)(3c+x)$** г) $(b-c) + a(c-b)$ И снова используем нашу хитрость: $(c-b) = -(b-c)$: $$(b-c) + a(-(b-c)) = (b-c) - a(b-c)$$ Выносим $(b-c)$: $$(b-c)(1-a)$$ **Ответ: $(b-c)(1-a)$**