Реши задания из самостоятельной работы по алгебре 'Вариант I'

Привет! Давай разберёмся с этой самостоятельной работой. Всё не так сложно, как кажется. Вот решения: ### С-1. Преобразование целого выражения в многочлен **1. Упростите выражение:** 1) а) $(3a - 7) + (4 - a) = 3a - 7 + 4 - a = \mathbf{2a - 3}$ б) $(8b + 12) - (2 - 5b) = 8b + 12 - 2 + 5b = \mathbf{13b + 10}$ 2) а) $(6x^2 - 1) + (2 - 3x - x^2) = 6x^2 - 1 + 2 - 3x - x^2 = \mathbf{5x^2 - 3x + 1}$ б) $(10 - 12y^2) - (y^3 - y^2 + 6) = 10 - 12y^2 - y^3 + y^2 - 6 = \mathbf{-y^3 - 11y^2 + 4}$ **2. Представьте в виде многочлена:** 1) а) $7c^2(2c - 9) = 14c^3 - 63c^2$ б) $-0,5a(4 - 2a) = -2a + a^2 = \mathbf{a^2 - 2a}$ в) $3x(x^2 - 7x + 2) = \mathbf{3x^3 - 21x^2 + 6x}$ 2) а) $(b + 3)(b - 5) = b^2 - 5b + 3b - 15 = \mathbf{b^2 - 2b - 15}$ б) $(4a - 3)(2a + 1) = 8a^2 + 4a - 6a - 3 = \mathbf{8a^2 - 2a - 3}$ в) **Допущение:** в задании выражение имеет вид $(c - 2)(c^2 + 3c - 1)$, так как изображение немного размыто. $(c - 2)(c^2 + 3c - 1) = c^3 + 3c^2 - c - 2c^2 - 6c + 2 = \mathbf{c^3 + c^2 - 7c + 2}$ **3. Упростите выражение:** 1) а) $5(2x - 3) + 2(7 - 3x) = 10x - 15 + 14 - 6x = \mathbf{4x - 1}$ б) $6y(y^2 - 3y) - 3y(y^2 - 6y) = 6y^3 - 18y^2 - 3y^3 + 18y^2 = \mathbf{3y^3}$ 2) а) $(3a - 1)(2a + 5) - 6a^2 = (6a^2 + 15a - 2a - 5) - 6a^2 = \mathbf{13a - 5}$ б) $12b^3 - (4b^2 - 1)(3b - 2) = 12b^3 - (12b^3 - 8b^2 - 3b + 2) = \mathbf{8b^2 + 3b - 2}$ **4. Представьте в виде многочлена:** 1) а) $(x - 8)(x + 8) = x^2 - 8^2 = \mathbf{x^2 - 64}$ б) $(6 + y)(y - 6) = (y + 6)(y - 6) = y^2 - 6^2 = \mathbf{y^2 - 36}$ в) $(3z^2 - 5)(5 + 3z^2) = (3z^2 - 5)(3z^2 + 5) = (3z^2)^2 - 5^2 = \mathbf{9z^4 - 25}$ 2) а) $(y + 3)^2 = y^2 + 2 \cdot y \cdot 3 + 3^2 = \mathbf{y^2 + 6y + 9}$ б) $(a - 5)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 5 + 5^2 = \mathbf{a^2 - 10a + 25}$ в) $(2b^2 - 1)^2 = (2b^2)^2 - 2 \cdot 2b^2 \cdot 1 + 1^2 = \mathbf{4b^4 - 4b^2 + 1}$ г) $(5 + 3c^2)^2 = 5^2 + 2 \cdot 5 \cdot 3c^2 + (3c^2)^2 = \mathbf{25 + 30c^2 + 9c^4}$ 3) а) $(c + 2)(c^2 - 2c + 4) = c^3 + 2^3 = \mathbf{c^3 + 8}$ б) $(y - 3)(y^2 + 3y + 9) = y^3 - 3^3 = \mathbf{y^3 - 27}$ **5. Докажите, что выражение...** Упростим выражение: $$(a - 4)(a + 8) - 4(a - 9) = a^2 + 8a - 4a - 32 - 4a + 36 = a^2 + 4$$ Выражение $a^2$ всегда больше или равно нулю ($a^2 \ge 0$). Значит, $a^2 + 4$ всегда будет больше или равно 4, а это положительное число. **6. Докажите, что выражение...** Упростим выражение: $$32y + (y-8)^2 - y(y-16) = 32y + y^2 - 16y + 64 - y^2 + 16y = 32y + 64$$ Вынесем 32 за скобки: $32(y+2)$. Так как один из множителей равен 32, всё выражение делится на 32. **7. При каком значении b...** Раскроем скобки и найдём коэффициент при $x^2$: $$(x^2 + 2x - 3)(x - b) = x^3 - bx^2 + 2x^2 - 2bx - 3x + 3b = x^3 + (2 - b)x^2 + (-2b - 3)x + 3b$$ Чтобы многочлен не содержал $x^2$, коэффициент при нём должен быть равен нулю: $2 - b = 0$ **Ответ: $b=2$** ### С-2. Разложение на множители **1. Представьте многочлен в виде произведения:** 1) а) $12b - 48 = \mathbf{12(b - 4)}$ б) $x^2 - 2x = \mathbf{x(x - 2)}$ в) $3y^3 + 15y = \mathbf{3y(y^2 + 5)}$ г) $6z^3 - 2z^5 = \mathbf{2z^3(3 - z^2)}$ 2) а) $ax - 3a + bx - 3b = a(x - 3) + b(x - 3) = \mathbf{(a + b)(x - 3)}$ б) $x^2 - ax + bx - ab = x(x - a) + b(x - a) = \mathbf{(x + b)(x - a)}$ **2. Разложите на множители:** 1) а) $y^2 - 9 = \mathbf{(y - 3)(y + 3)}$ б) $25c^2 - 1 = \mathbf{(5c - 1)(5c + 1)}$ в) $0,49 - a^2x^4 = \mathbf{(0,7 - ax^2)(0,7 + ax^2)}$ 2) а) $n^2 - 2n + 1 = \mathbf{(n - 1)^2}$ б) $4m^2 + 12m + 9 = \mathbf{(2m + 3)^2}$ в) $4 + 0,25x^2 - 2x = 0,25x^2 - 2x + 4 = \mathbf{(0,5x - 2)^2}$ 3) а) $p^3 + 1 = \mathbf{(p + 1)(p^2 - p + 1)}$ б) $a^3 - 8 = \mathbf{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)}$ в) $8q^3 + 27 = (2q)^3 + 3^3 = \mathbf{(2q + 3)(4q^2 - 6q + 9)}$ г) $0,001x^6 - 1000y^3 = (0,1x^2)^3 - (10y)^3 = \mathbf{(0,1x^2 - 10y)(0,01x^4 + x^2y + 100y^2)}$ **3. Разложите на множители:** 1) а) $3x^2 - 3y^2 = 3(x^2 - y^2) = \mathbf{3(x - y)(x + y)}$ б) $y^3 - y = y(y^2 - 1) = \mathbf{y(y - 1)(y + 1)}$ в) $a^5 - a = a(a^4 - 1) = a(a^2 - 1)(a^2 + 1) = \mathbf{a(a - 1)(a + 1)(a^2 + 1)}$ 2) а) $b^3 - 12b^2 + 36b = b(b^2 - 12b + 36) = \mathbf{b(b - 6)^2}$ б) $20a^3 - 60a^2 + 45a = 5a(4a^2 - 12a + 9) = \mathbf{5a(2a - 3)^2}$ 3) а) $x^2 - y^2 + x + y = (x^2 - y^2) + (x + y) = (x - y)(x + y) + (x + y) = \mathbf{(x + y)(x - y + 1)}$ б) $c^2 - 4c + 4 - 9x^2 = (c^2 - 4c + 4) - 9x^2 = (c - 2)^2 - (3x)^2 = \mathbf{(c - 2 - 3x)(c - 2 + 3x)}$