Реши задания с матрицами с доски

Привет! Давай разберёмся с этими заданиями по матрицам. Это совсем не сложно, если делать всё по шагам. ### 1. Вычислить $A+B$ Чтобы сложить матрицы, нужно просто сложить числа, которые стоят на одинаковых местах. $$ A = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 4 \\ 7 & 6 & -5 \\ -1 & 8 & 9 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} -1 & 3 & -4 \\ -7 & -5 & 5 \\ 1 & -8 & -8 \end{pmatrix} $$ Складываем элементы: $$ A+B = \begin{pmatrix} 2+(-1) & -3+3 & 4+(-4) \\ 7+(-7) & 6+(-5) & -5+5 \\ -1+1 & 8+(-8) & 9+(-8) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$ **Ответ:** $A+B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ ### 2. Вычислить $3A+4B-2C$ **Допущение:** В условии на доске, скорее всего, опечатка в матрице A. Складывать и вычитать можно только матрицы одинакового размера. Судя по вычислениям на правой части доски, имелась в виду матрица A размером $3 \times 2$: $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & -4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} $$ Сначала умножим каждую матрицу на число, которое стоит перед ней. Для этого просто умножаем каждый элемент матрицы на это число. $$ 3A = 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & -4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 9 & -12 \\ 6 & 3 \end{pmatrix} $$ $$ 4B = 4 \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \\ 1 & -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -4 \\ 8 & 12 \\ 4 & -20 \end{pmatrix} $$ $$ 2C = 2 \cdot \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & -3 \\ 8 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 2 & -6 \\ 16 & 12 \end{pmatrix} $$ Теперь выполним сложение и вычитание: $$ 3A+4B-2C = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 9 & -12 \\ 6 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 & -4 \\ 8 & 12 \\ 4 & -20 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 2 & -6 \\ 16 & 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3+4-6 & 0-4-8 \\ 9+8-2 & -12+12-(-6) \\ 6+4-16 & 3-20-12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -12 \\ 15 & 6 \\ -6 & -29 \end{pmatrix} $$ **Ответ:** $3A+4B-2C = \begin{pmatrix} 1 & -12 \\ 15 & 6 \\ -6 & -29 \end{pmatrix}$ ### 3. Найти произведение матриц При умножении матриц мы умножаем строки первой матрицы на столбцы второй. Это похоже на игру: «строка на столбик». а) $$ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 & 4 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot (-2) + 2 \cdot 3 & 1 \cdot 4 + 2 \cdot 1 \\ -3 \cdot (-2) + 4 \cdot 3 & -3 \cdot 4 + 4 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 18 & -8 \end{pmatrix} $$ **Ответ:** $\begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 18 & -8 \end{pmatrix}$ б) $$ \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 9 & 6 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 9 + 3 \cdot (-3) & 1 \cdot 6 + 3 \cdot 2 \\ 2 \cdot 9 + 6 \cdot (-3) & 2 \cdot 6 + 6 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 12 \\ 0 & 24 \end{pmatrix} $$ **Ответ:** $\begin{pmatrix} 0 & 12 \\ 0 & 24 \end{pmatrix}$ в) $$ \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 & 2 \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) \\ 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 & 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} $$ **Ответ:** $\begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$ г) $$ \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 & 5 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5(-2)+4(3) & 5(5)+4(4) \\ 2(-2)+5(3) & 2(5)+5(4) \\ 3(-2)+1(3) & 3(5)+1(4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 41 \\ 11 & 30 \\ -3 & 19 \end{pmatrix} $$ **Ответ:** $\begin{pmatrix} 2 & 41 \\ 11 & 30 \\ -3 & 19 \end{pmatrix}$ д) $$ \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(1)+(-1)(2)+3(-1) \\ 4(1)+2(2)+0(-1) \\ -1(1)+1(2)+1(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} $$ **Ответ:** $\begin{pmatrix} -3 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix}