Помоги решить задания с матрицами с доски

Привет! Давай разберёмся с этими заданиями по алгебре. Это действия с матрицами, и они только на первый взгляд кажутся сложными. Сейчас ты во всём разберёшься! ### Задание 1. Вычислить $A+B$ Тут нам нужно сложить две матрицы. Чтобы это сделать, мы просто складываем элементы, которые стоят на одинаковых местах. Даны матрицы: $$ A = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 4 \\ 7 & 6 & -5 \\ -1 & 8 & 9 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} -1 & 3 & -4 \\ -7 & -5 & 5 \\ 1 & -8 & -8 \end{pmatrix} $$ Складываем их: $$ A+B = \begin{pmatrix} 2+(-1) & -3+3 & 4+(-4) \\ 7+(-7) & 6+(-5) & -5+5 \\ -1+1 & 8+(-8) & 9+(-8) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$ **Ответ:** Сумма матриц $A$ и $B$ — это единичная матрица: $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$ ### Задание 2. Вычислить $3A+4B-2C$ В этом задании в условии на доске, похоже, есть опечатка. Матрицу $A$ (размером 2x3) нельзя сложить с матрицами $B$ и $C$ (размером 3x2). Но, судя по ответу на доске, матрица $A$ должна была быть другой. **Допущение:** Правильное условие для матрицы $A$: $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & -4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$. С этим исправлением мы можем решить пример. 1. **Умножим каждую матрицу на её число (скаляр):** * $3A = 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & -4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 9 & -12 \\ 6 & 3 \end{pmatrix}$ * $4B = 4 \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \\ 1 & -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -4 \\ 8 & 12 \\ 4 & -20 \end{pmatrix}$ * $2C = 2 \cdot \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & -3 \\ 8 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 2 & -6 \\ 16 & 12 \end{pmatrix}$ 2. **Теперь выполним сложение и вычитание:** $$ 3A+4B-2C = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 9 & -12 \\ 6 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 & -4 \\ 8 & 12 \\ 4 & -20 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 2 & -6 \\ 16 & 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3+4-6 & 0-4-8 \\ 9+8-2 & -12+12-(-6) \\ 6+4-16 & 3-20-12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -12 \\ 15 & 6 \\ -6 & -29 \end{pmatrix} $$ **Ответ:** $$ \begin{pmatrix} 1 & -12 \\ 15 & 6 \\ -6 & -29 \end{pmatrix} $$ ### Задание 3. Найти произведение матриц При умножении матриц мы умножаем каждую строку первой матрицы на каждый столбец второй матрицы. Это как бы правило «строка на столбец». **а)** $$ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & 4 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot(-2)+2\cdot3 & 1\cdot4+2\cdot1 \\ -3\cdot(-2)+4\cdot3 & -3\cdot4+4\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2+6 & 4+2 \\ 6+12 & -12+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 18 & -8 \end{pmatrix} $$ **б)** $$ \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 9 & 6 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot9+3\cdot(-3) & 1\cdot6+3\cdot2 \\ 2\cdot9+6\cdot(-3) & 2\cdot6+6\cdot2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9-9 & 6+6 \\ 18-18 & 12+12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 12 \\ 0 & 24 \end{pmatrix} $$ **в)** $$ \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot1+(-1)\cdot2 & 2\cdot1+(-1)\cdot(-1) \\ 1\cdot1+1\cdot2 & 1\cdot1+1\cdot(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-2 & 2+1 \\ 1+2 & 1-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} $$ **г)** $$ \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & 5 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5\cdot(-2)+4\cdot3 & 5\cdot5+4\cdot4 \\ 2\cdot(-2)+5\cdot3 & 2\cdot5+5\cdot4 \\ 3\cdot(-2)+1\cdot3 & 3\cdot5+1\cdot4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10+12 & 25+16 \\ -4+15 & 10+20 \\ -6+3 & 15+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 41 \\ 11 & 30 \\ -3 & 19 \end{pmatrix} $$ **д)** $$ \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot1+(-1)\cdot2+3\cdot(-1) \\ 4\cdot1+2\cdot2+0\cdot(-1) \\ -1\cdot1+1\cdot2+1\cdot(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-2-3 \\ 4+4+0 \\ -1+2-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} $$ Надеюсь, теперь стало понятнее! Если будут ещё вопросы, смело задавай.