Постройте график заданной функции y = 2x - 3, найдите область определения и область значений функции

Привет! Давай разберёмся с этими заданиями. Здесь нужно для каждой функции описать, как выглядит её график, и найти область определения (какие $x$ можно подставлять) и область значений (какие $y$ могут получиться). ### 1.7 Это всё линейные функции, их графики — прямые линии. Чтобы построить прямую, достаточно найти две точки. а) $y = 2x - 3$ - График — прямая, проходит через точки $(0, -3)$ и $(2, 1)$. - **Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$** - **Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$** б) $y = 6 - 3x$ - График — прямая, проходит через точки $(0, 6)$ и $(2, 0)$. - **Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$** - **Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$** в) $y = \frac{x}{2} + 4$ - График — прямая, проходит через точки $(0, 4)$ и $(2, 5)$. - **Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$** - **Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$** г) $y = -\frac{2x}{3} - 3$ - График — прямая, проходит через точки $(0, -3)$ и $(3, -5)$. - **Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$** - **Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$** ### 1.8 Это квадратичные функции, их графики — параболы. а) $y = x^2 + 2$ - График — парабола $y = x^2$, сдвинутая на 2 вверх. Ветви вверх, вершина в точке $(0, 2)$. - **Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$** - **Область значений: $E(y) = [2; +\infty)$** б) $y = 3 - 2x^2$ - График — парабола, ветви которой направлены вниз, сдвинутая на 3 вверх. Вершина в точке $(0, 3)$. - **Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$** - **Область значений: $E(y) = (-\infty; 3]$** в) $y = \frac{1}{2}x^2 - 4$ - График — парабола $y = \frac{1}{2}x^2$, сдвинутая на 4 вниз. Ветви вверх, вершина в точке $(0, -4)$. - **Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$** - **Область значений: $E(y) = [-4; +\infty)$** г) $y = -1,5x^2 - 2$ - График — парабола, ветви которой направлены вниз, сдвинутая на 2 вниз. Вершина в точке $(0, -2)$. - **Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$** - **Область значений: $E(y) = (-\infty; -2]$** ### 1.9 Это функции с квадратным корнем. а) $y = \sqrt{x}$ - График — ветвь параболы, выходящая из точки $(0, 0)$. - **Область определения: $x \ge 0$, то есть $D(y) = [0; +\infty)$** - **Область значений: $y \ge 0$, то есть $E(y) = [0; +\infty)$** б) $y = \sqrt{x-3}$ - График — функция $y = \sqrt{x}$, сдвинутая на 3 вправо. - **Область определения: $x-3 \ge 0 \implies x \ge 3$, то есть $D(y) = [3; +\infty)$** - **Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$** в) $y = -\sqrt{x}$ - График — функция $y = \sqrt{x}$, отражённая симметрично относительно оси X. - **Область определения: $x \ge 0$, то есть $D(y) = [0; +\infty)$** - **Область значений: $y \le 0$, то есть $E(y) = (-\infty; 0]$** г) $y = -\sqrt{x} + 2$ - График — функция $y = -\sqrt{x}$, сдвинутая на 2 вверх. - **Область определения: $x \ge 0$, то есть $D(y) = [0; +\infty)$** - **Область значений: $E(y) = (-\infty; 2]$** ### 1.10 Это тоже параболы. Найдём их вершины, чтобы понять, где они находятся. а) $y = x^2 + 3x - 28$ - График — парабола, ветви вверх. Вершина в точке $(-1.5, -30.25)$. - **Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$** - **Область значений: $E(y) = [-30.25; +\infty)$** б) $y = -x^2 - 2x + 24$ - График — парабола, ветви вниз. Вершина в точке $(-1, 25)$. - **Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$** - **Область значений: $E(y) = (-\infty; 25]$** ### 1.11 Это дробно-рациональные функции, их графики — гиперболы. У них есть асимптоты — прямые, к которым график приближается, но не пересекает. а) $y = \frac{1}{x} + 3$ - График — гипербола $y = 1/x$, сдвинутая на 3 вверх. Асимптоты: $x=0$ и $y=3$. - **Область определения: $x \ne 0$, то есть $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$** - **Область значений: $y \ne 3$, то есть $E(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$** б) $y = \frac{5}{x+3}$ - График — гипербола $y = 5/x$, сдвинутая на 3 влево. Асимптоты: $x=-3$ и $y=0$. - **Область определения: $x+3 \ne 0 \implies x \ne -3$, то есть $D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$** - **Область значений: $y \ne 0$, то есть $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$** в) $y = -\frac{2}{x} - 1$ - График — гипербола $y = -2/x$, сдвинутая на 1 вниз. Асимптоты: $x=0$ и $y=-1$. - **Область определения: $x \ne 0$, то есть $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$** - **Область значений: $y \ne -1$, то есть $E(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$** г) $y = \frac{4}{1-x}$ - График — гипербола. Можно переписать как $y = -\frac{4}{x-1}$. Это гипербола $y = -4/x$, сдвинутая на 1 вправо. Асимптоты: $x=1$ и $y=0$. - **Область определения: $1-x \ne 0 \implies x \ne 1$, то есть $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$** - **Область значений: $y \ne 0$, то есть $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$** Надеюсь, это поможет тебе разобраться! Если будут вопросы, спрашивай.