Реши пример 3/4 - (2/3)^(-1)

Привет! Давай вместе разберёмся с этими примерами. Тут всё дело в свойствах степеней, это не так сложно, как кажется. ### Задание 96 **1) $$\[\frac{3}{4} - \left(\frac{2}{3}\right)^{-1}\]** Сначала разберёмся со степенью. Минус в показателе степени означает, что мы должны "перевернуть" дробь. $$ \left(\frac{2}{3}\right)^{-1} = \frac{3}{2} $$ Теперь подставим это значение в наш пример: $$ \frac{3}{4} - \frac{3}{2} $$ Чтобы вычесть дроби, приведём их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 4 и 2 — это 4. $$ \frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4} - \frac{6}{4} = \frac{3-6}{4} = -\frac{3}{4} $$ **Ответ: $$-\frac{3}{4}$$** **2) $$\left(\frac{1}{27} \cdot 125^{-1}\right)^{-\frac{1}{3}}$$ **Сначала упростим то, что в скобках. $$ 125^{-1} = \frac{1}{125} $$ Теперь выражение в скобках выглядит так: $$ \frac{1}{27} \cdot \frac{1}{125} = \frac{1}{3375} $$ Получается: $$ \left(\frac{1}{3375}\right)^{-\frac{1}{3}} $$ Минус в степени снова "переворачивает" дробь, а степень $$\frac{1}{3}$$ означает кубический корень. $$ (3375)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{3375} $$ Можно заметить, что $$3375 = 27 \cdot 125 = 3^3 \cdot 5^3 = (3 \cdot 5)^3 = 15^3 $$. Значит, кубический корень из 3375 равен 15. $$ \sqrt[3]{3375} = 15 $$ **Ответ: 15** **3) $$27^{\frac{2}{3}} + 9^{-1}$$ **Давай по частям. Сначала $$27^{\frac{2}{3}}$$. Дробная степень $$\frac{2}{3}$$ означает, что нам нужно извлечь корень 3-й степени и потом возвести результат во 2-ю степень. $$ 27^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{27})^2 = (3)^2 = 9 $$ Теперь вторая часть: $$9^{-1}$$. Минус первая степень — это просто обратное число. $$ 9^{-1} = \frac{1}{9} $$ Осталось сложить результаты: $$ 9 + \frac{1}{9} = 9\frac{1}{9} $$ **Ответ: $$9\frac{1}{9}$$** **4) $$(0,01)^{-2} : 100^{-\frac{1}{2}}$$ **Переведём десятичную дробь в обыкновенную: $$0,01 = \frac{1}{100}$$. Наш пример теперь выглядит так: $$ \left(\frac{1}{100}\right)^{-2} : 100^{-\frac{1}{2}} $$ Упростим каждую часть. Минус в степени переворачивает дробь: $$ \left(\frac{1}{100}\right)^{-2} = (100)^2 = 10000 $$ Теперь вторая часть. Минус переворачивает число, а степень $$\frac{1}{2}$$ — это квадратный корень: $$ 100^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{100^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{100}} = \frac{1}{10} $$ Теперь делим: $$ 10000 : \frac{1}{10} = 10000 \cdot 10 = 100000 $$ **Ответ: 100000** **5) $$\left(\frac{64}{81}\right)^{-\frac{1}{2}} \cdot \left(\frac{8}{5}\right)^{-1}$$ **Разбираем по частям. Первая скобка: $$ \left(\frac{64}{81}\right)^{-\frac{1}{2}} = \left(\frac{81}{64}\right)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{81}{64}} = \frac{9}{8} $$ Вторая скобка: $$ \left(\frac{8}{5}\right)^{-1} = \frac{5}{8} $$ Теперь умножаем результаты: $$ \frac{9}{8} \cdot \frac{5}{8} = \frac{9 \cdot 5}{8 \cdot 8} = \frac{45}{64} $$ **Ответ: $$\frac{45}{64}$$** **6) $$\left(2\frac{10}{27}\right)^{-\frac{2}{3}} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$ **Сначала смешанное число переведём в неправильную дробь: $$ 2\frac{10}{27} = \frac{2 \cdot 27 + 10}{27} = \frac{54+10}{27} = \frac{64}{27} $$ Теперь первая часть примера: $$ \left(\frac{64}{27}\right)^{-\frac{2}{3}} = \left(\frac{27}{64}\right)^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{\frac{27}{64}}\right)^2 = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16} $$ Вторая часть: $$ \left(\frac{3}{4}\right)^{2} = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16} $$ Осталось перемножить: $$ \frac{9}{16} \cdot \frac{9}{16} = \frac{81}{256} $$ **Ответ: $$\frac{81}{256}$$**