Какое из следующих утверждений верно: 1) {a} ∈ {a, b};

Привет! Давай разберёмся с этими заданиями по теории множеств. Всё не так сложно, как кажется! ### 1.5. Какое из следующих утверждений верно? Давай сначала разберёмся в символах: * Символ $∈$ означает «является элементом». Он ставится между элементом и множеством. Например, яблоко $∈$ {яблоко, груша}. * Символ $⊂$ означает «является подмножеством». Он ставится между двумя множествами. Одно множество является подмножеством другого, если все его элементы содержатся во втором множестве. Например, {яблоко} $⊂$ {яблоко, груша}. Теперь посмотрим на варианты: 1) ${a} ∈ {a, b}$ — Неверно. Элементы множества ${a, b}$ — это $a$ и $b$, а не множество ${a}$. 2) ${a} ⊂ {a, b}$ — **Верно**. Множество ${a}$ является подмножеством ${a, b}$, так как единственный элемент первого множества ($a$) содержится во втором. 3) $a ⊂ {a, b}$ — Неверно. Символ $⊂$ используется между множествами, а $a$ — это элемент, а не множество. 4) ${a, b} ∈ {a, b}$ — Неверно. Множество ${a, b}$ не является элементом самого себя. **Правильный ответ: 2** ### 1.6. Докажите, что если $A ⊂ B$ и $B ⊂ C$, то $A ⊂ C$. Это свойство называется транзитивностью. Давай докажем его простыми словами. 1. Условие $A ⊂ B$ означает, что каждый элемент из множества $A$ также находится и в множестве $B$. 2. Условие $B ⊂ C$ означает, что каждый элемент из множества $B$ также находится и в множестве $C$. 3. Теперь возьмём любой элемент из множества $A$. Из первого пункта мы знаем, что он точно есть в $B$. А из второго пункта следует, что раз он есть в $B$, то он обязательно есть и в $C$. 4. Получается, что любой элемент, который мы бы ни взяли из $A$, всегда будет и в $C$. А это и есть определение того, что $A$ является подмножеством $C$. Что и требовалось доказать! ### 1.7. Запишите с помощью символа $⊂$ соотношение между множествами. Давай посмотрим, что из себя представляет каждое множество: * $A$: множество всех чисел, которые делятся на 2 (чётные числа). * $B$: множество всех чисел, которые делятся на 50. * $C$: множество всех чисел, которые делятся на 10. * $D$: множество всех чисел, которые делятся на 5. Теперь найдём связи: * Любое число, которое делится на 50 (например, 50, 100, 150), также делится и на 10. Значит, все элементы $B$ есть в $C$. Получаем: $B ⊂ C$. * Любое число, которое делится на 10 (например, 10, 20, 30), также делится и на 5. Значит, все элементы $C$ есть в $D$. Получаем: $C ⊂ D$. * Любое число, которое делится на 10, является чётным, то есть делится на 2. Значит, все элементы $C$ есть в $A$. Получаем: $C ⊂ A$. Можно объединить эти соотношения в цепочки: **Ответ:** $$B ⊂ C ⊂ D$$ $$B ⊂ C ⊂ A$$