Привет! Давай разберём эти задания по порядку.
### 1.5. Какое из следующих утверждений верно?
Чтобы ответить на этот вопрос, давай вспомним два важных знака:
* Знак $∈$ означает «является элементом». Он показывает, что какой-то предмет лежит внутри «коробки» (множества). Например, $a ∈ \{a, b\}$ — это правда, потому что элемент $a$ есть во множестве.
* Знак $⊂$ означает «является подмножеством». Он показывает, что одна «коробка» поменьше полностью находится внутри другой, побольше. То есть все элементы одного множества есть и в другом. Например, $\{a\} ⊂ \{a, b\}$.
А теперь посмотрим на варианты:
1) $\{a\} ∈ \{a, b\}$ — Неверно. Во множестве $\{a, b\}$ есть элементы $a$ и $b$, но нет элемента $\{a\}$ (то есть множества, состоящего из $a$).
2) $\{a\} ⊂ \{a, b\}$ — **Верно!** Множество $\{a\}$ является подмножеством $\{a, b\}$, потому что единственный его элемент ($a$) есть и во втором множестве.
3) $a ⊂ \{a, b\}$ — Неверно. Знак $⊂$ используется для сравнения двух множеств, а $a$ — это элемент.
4) $\{a, b\} ∈ \{a, b\}$ — Неверно. Множество не может быть своим собственным элементом в данном случае.
**Правильный ответ: 2**
### 1.6. Докажите, что если $A ⊂ B$ и $B ⊂ C$, то $A ⊂ C$.
Конечно, давай докажем. Это свойство называется транзитивностью.
1. Что значит $A ⊂ B$? Это значит, что любой элемент из множества $A$ обязательно есть и в множестве $B$.
2. Что значит $B ⊂ C$? Это значит, что любой элемент из множества $B$ обязательно есть и в множестве $C$.
3. Нам нужно доказать, что $A ⊂ C$, то есть что любой элемент из $A$ есть и в $C$.
Представь, что мы взяли любой элемент $x$ из множества $A$. Куда он нас приведёт?
* Поскольку $x$ находится в $A$, а мы знаем, что $A ⊂ B$, то этот же элемент $x$ точно есть и в $B$.
* Теперь мы знаем, что $x$ есть в $B$. А так как $B ⊂ C$, то этот же элемент $x$ должен быть и в $C$.
Вот мы и проследили путь: любой элемент, который мы берём из $A$, в итоге оказывается и в $C$. А это и доказывает, что $A ⊂ C$.
### 1.7. Запишите с помощью символа ⊂ соотношение между множествами
Сначала давай поймём, что это за множества. $N$ — это натуральные числа (1, 2, 3, ...).
* $A$: числа, которые делятся на 2 (чётные). $A = \{2, 4, 6, ...\}$
* $B$: числа, которые делятся на 50. $B = \{50, 100, 150, ...\}$
* $C$: числа, которые делятся на 10. $C = \{10, 20, 30, ...\}$
* $D$: числа, которые делятся на 5. $D = \{5, 10, 15, ...\}$
А теперь найдём связи:
* Любое число, которое делится на 50 (из $B$), обязательно делится и на 10 (попадает в $C$). Значит: $$B ⊂ C$$
* Любое число, которое делится на 10 (из $C$), является чётным (попадает в $A$). Значит: $$C ⊂ A$$
* Любое число, которое делится на 10 (из $C$), делится и на 5 (попадает в $D$). Значит: $$C ⊂ D$$
Можно записать и другие соотношения, которые следуют из этих:
* Так как $B ⊂ C$ и $C ⊂ A$, то $B ⊂ A$.
* Так как $B ⊂ C$ и $C ⊂ D$, то $B ⊂ D$.
