Найди производную функции 1/4*x^8 + 3sin(3x)

Привет! Давай разберёмся с этими примерами. Судя по всему, здесь нужно найти производные функций. Это как находить «скорость изменения» функции в каждой точке. **Допущение:** В задании требуется найти производные указанных функций. ### Задание 2 Найдём производную функции $y = \frac{1}{4}x^8 + 3\sin(3x)$. Чтобы найти производную суммы, нужно просто найти производную каждого слагаемого по отдельности и сложить результаты. * **Первое слагаемое:** $(\frac{1}{4}x^8)'$ Используем правило производной степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$. $$(\frac{1}{4}x^8)' = \frac{1}{4} \cdot (x^8)' = \frac{1}{4} \cdot 8x^{8-1} = \frac{8}{4}x^7 = 2x^7$$ * **Второе слагаемое:** $(3\sin(3x))'$ Это сложная функция. Сначала берём производную от внешней функции (синуса), а потом умножаем на производную от внутренней функции ($3x$). $$(3\sin(3x))' = 3 \cdot (\sin(3x))' = 3 \cdot \cos(3x) \cdot (3x)' = 3 \cdot \cos(3x) \cdot 3 = 9\cos(3x)$$ * **Собираем всё вместе:** $$y' = 2x^7 + 9\cos(3x)$$ **Ответ:** $y' = 2x^7 + 9\cos(3x)$ ### Задание 5 Найдём производную функции $y = \frac{1}{3x^3} + \frac{1}{2}\ln(4x)$. Здесь тоже находим производную каждого слагаемого. * **Первое слагаемое:** $(\frac{1}{3x^3})'$ Чтобы было удобнее, перепишем дробь в виде степени с отрицательным показателем: $\frac{1}{3x^3} = \frac{1}{3}x^{-3}$. Теперь используем то же правило степенной функции. $$(\frac{1}{3}x^{-3})' = \frac{1}{3} \cdot (-3)x^{-3-1} = -1 \cdot x^{-4} = -\frac{1}{x^4}$$ * **Второе слагаемое:** $(\frac{1}{2}\ln(4x))'$ Это тоже сложная функция. Производная натурального логарифма $(\ln x)' = \frac{1}{x}$. $$(\frac{1}{2}\ln(4x))' = \frac{1}{2} \cdot (\ln(4x))' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4x} \cdot (4x)' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4x} \cdot 4 = \frac{4}{8x} = \frac{1}{2x}$$ * **Собираем всё вместе:** $$y' = -\frac{1}{x^4} + \frac{1}{2x}$$ **Ответ:** $y' = -\frac{1}{x^4} + \frac{1}{2x}$