Найдите десять рациональных чисел, которые заключены между числами 0,001 и 0,01.

Привет! Давай разберёмся с этими упражнениями вместе. Это совсем несложно, вот увидишь! ### Упражнение 1 * **Десять рациональных чисел** между $0,001$ и $0,01$. Представь эти числа как $0,0010$ и $0,0100$. Между ними легко найти много других чисел, например: $0,0011$; $0,0015$; $0,002$; $0,003$; $0,004$; $0,005$; $0,006$; $0,007$; $0,008$; $0,009$. * **Несколько иррациональных чисел** в этом же промежутке. Это числа, которые нельзя записать в виде обычной дроби, и их десятичная запись бесконечна и не повторяется. Можно взять известные иррациональные числа и поделить их, чтобы они попали в наш промежуток. Например: $\frac{\sqrt{2}}{1000} \approx 0,001414...$; $\frac{\pi}{1000} \approx 0,003141...$ ### Упражнение 2 Нам нужно найти числа, которые больше $\sqrt{2} \approx 1,414$ и меньше $\sqrt{3} \approx 1,732$. Проверим список: * $1,(5) = 1,555...$ — подходит, так как $1,414 < 1,555... < 1,732$. * $1,68$ — подходит, так как $1,414 < 1,68 < 1,732$. **Ответ:** $1,(5)$ и $1,68$. ### Упражнение 3 * «Если $a \in N$, то $a \in Z$» (Если число натуральное, то оно и целое). Это **верно**. Натуральные числа ($1, 2, 3...$) — это часть целых чисел ($...-2, -1, 0, 1, 2...$). * «Если $a \in Z$, то $a \in N$» (Если число целое, то оно и натуральное). Это **неверно**. Например, число $-5$ или $0$ — целые, но не натуральные. **Ответ:** Верно первое утверждение. ### Упражнение 4 * а) $x \in Z$ и $x \notin N$ (целое, но не натуральное): **$-2, 0$**. * б) $x \in Q$ и $x \notin Z$ (рациональное, но не целое): **$0,5$; $-\frac{3}{4}$**. * в) $x \in Q$ и $x \notin N$ (рациональное, но не натуральное): **$-10$; $1,2$**. ### Упражнение 5 Вспомним обозначения: $N$ — натуральные, $Z$ — целые, $Q$ — рациональные, $R$ — действительные. * а) 6: принадлежит **$N, Z, Q, R$**. * б) -1,98: принадлежит **$Q, R$**. * в) 0,5(87): принадлежит **$Q, R$**. * г) $\pi$: принадлежит **$R$**. ### Упражнение 6 * а) $Z$ и $R$: **$-8, 0, 15$**. * б) $R$ и $N$: **$1, 7, 100$**. * в) $Q$ и $R$: **$0,25; -4; \frac{1}{3}$**. * г) $N, Q$ и $R$: **$5, 12, 2023$**. ### Упражнение 7 Чтобы превратить дробь в десятичную, нужно поделить числитель на знаменатель. Повторяющаяся часть — это период, он пишется в скобках. * а) $\frac{1}{3} = 0,333... = \textbf{0,(3)}$ * б) $\frac{2}{3} = 0,666... = \textbf{0,(6)}$ * в) $\frac{5}{6} = 0,8333... = \textbf{0,8(3)}$ * г) $1\frac{8}{11} = 1 + 0,7272... = \textbf{1,(72)}$ * д) $2\frac{4}{15} = 2 + 0,2666... = \textbf{2,2(6)}$ ### Упражнение 8 **Допущение:** В пунктах д) и е) числа $37/15$ и $87/65$ соответственно. | Дробь | Десятичная запись | До десятых | До сотых | До тысячных | |---|---|---|---|---| | а) $\frac{1}{9}$ | $0,111...$ | $0,1$ | $0,11$ | $0,111$ | | б) $\frac{3}{32}$ | $0,09375$ | $0,1$ | $0,09$ | $0,094$ | | в) $\frac{2}{7}$ | $0,2857...$ | $0,3$ | $0,29$ | $0,286$ | | г) $\frac{13}{64}$ | $0,203125$ | $0,2$ | $0,20$ | $0,203$ | | д) $\frac{37}{15}$ | $2,4666...$ | $2,5$ | $2,47$ | $2,467$ | | е) $\frac{87}{65}$ | $1,3384...$ | $1,3$ | $1,34$ | $1,338$ | ### Упражнение 9 Нужно выполнить деление и проверить, совпадает ли результат. * а) $2\frac{1}{3} = 2 + \frac{1}{3} = 2 + 0,333... = 2,(3)$. **Верно.** * б) $7\frac{2}{11} = 7 + \frac{2}{11} = 7 + 0,1818... = 7,(18)$. **Верно.** * в) $\frac{1}{6} = 0,1666... = 0,1(6)$. **Верно.** * г) $3\frac{7}{15} = 3 + \frac{7}{15} = 3 + 0,4666... = 3,4(6)$. **Верно.** ### Упражнение 10 Рациональные числа — это те, что можно записать как дробь $\frac{p}{q}$. Если мы возьмём два таких числа и будем их складывать, вычитать, умножать или делить, результат всё равно можно будет представить в виде дроби. А это значит, что он тоже будет рациональным числом. ### Упражнение 11 Знак «принадлежит» — $\in$. * а) Число 13 является натуральным: $13 \in N$. * б) Число 0,8 является рациональным: $0,8 \in Q$. * в) Число $\sqrt{3}$ является действительным: $\sqrt{3} \in R$. * г) Число 585 является натуральным: $585 \in N$. * д) Число 0 является целым: $0 \in Z$.