Сколько времени потребуется плоту на такое же расстояние, если катер проплывает его по озеру за 6 ч, а по течению реки — за 5 ч?

Привет! Давай разберёмся с этими задачками про лодки и реки. Это очень интересные задачки на движение! ### №19 **Условие:** Катер проплывает некоторое расстояние по озеру за 6 ч, а по течению реки — за 5 ч. Сколько времени потребуется плоту на такое же расстояние? **Решение:** Представь, что у катера есть своя собственная скорость, а у реки — скорость течения. Плот плывёт только за счёт течения, у него нет мотора. 1. **Скорость катера в озере.** Озеро — это стоячая вода, там нет течения. Расстояние, которое проплыл катер, примем за $S$. Тогда его собственная скорость (скорость в стоячей воде) равна $v_{катера} = \frac{S}{6}$. 2. **Скорость катера по течению.** Когда катер плывёт по течению, река ему помогает. Его скорость складывается из собственной скорости и скорости течения: $v_{по~течению} = v_{катера} + v_{течения}$. По условию, это расстояние он проходит за 5 часов, значит $v_{по~течению} = \frac{S}{5}$. 3. **Найдём скорость течения.** Мы знаем, что: $$ \frac{S}{5} = v_{катера} + v_{течения} $$ Подставим сюда скорость катера, которую нашли в первом шаге ($v_{катера} = \frac{S}{6}$): $$ \frac{S}{5} = \frac{S}{6} + v_{течения} $$ Отсюда скорость течения: $$ v_{течения} = \frac{S}{5} - \frac{S}{6} = \frac{6S - 5S}{30} = \frac{S}{30} $$ 4. **Время для плота.** Плот плывёт со скоростью течения. Чтобы найти время, нужно расстояние разделить на скорость: $$ t_{плота} = \frac{S}{v_{течения}} = \frac{S}{\frac{S}{30}} = S \cdot \frac{30}{S} = 30 \text{ часов} $$ **Ответ: 30 часов** ### №20 **Условие:** Расстояние между двумя пристанями по течению реки катер проходит за 8 ч, а плот — за 72 ч. Сколько времени потратит катер на такой же путь по озеру? **Решение:** Эта задачка похожа на предыдущую, давай решим её по шагам. 1. **Скорость течения.** Плот плывёт со скоростью течения реки. Если расстояние $S$ он проходит за 72 часа, то скорость течения $v_{течения} = \frac{S}{72}$. 2. **Общая скорость катера.** По течению катер плывёт со скоростью $v_{катера} + v_{течения}$. Это расстояние он проходит за 8 часов, значит, его скорость по течению равна $\frac{S}{8}$. 3. **Собственная скорость катера.** Теперь найдём собственную скорость катера (как если бы он плыл по озеру). Для этого из общей скорости вычтем скорость течения: $$ v_{катера} = (\text{скорость по течению}) - v_{течения} $$ $$ v_{катера} = \frac{S}{8} - \frac{S}{72} $$ Приведём к общему знаменателю (72): $$ v_{катера} = \frac{9S}{72} - \frac{S}{72} = \frac{8S}{72} = \frac{S}{9} $$ 4. **Время катера в озере.** В озере катер будет плыть со своей собственной скоростью. Найдём время: $$ t_{озеро} = \frac{S}{v_{катера}} = \frac{S}{\frac{S}{9}} = S \cdot \frac{9}{S} = 9 \text{ часов} $$ **Ответ: 9 часов** ### №21 **Условие:** Лодка проплыла некоторое расстояние по озеру за 4 ч. Такое же расстояние плот проплывает по реке за 12 ч. Сколько времени затратит лодка на тот же путь по течению реки? против течения? **Решение:** Здесь нужно найти два значения времени. Давай по порядку. 1. **Найдём скорости.** Пусть расстояние равно $S$. * Скорость лодки в озере (её собственная скорость): $v_{лодки} = \frac{S}{4}$. * Скорость плота (это и есть скорость течения реки): $v_{течения} = \frac{S}{12}$. 2. **Время по течению.** Когда лодка плывёт по течению, её скорость равна $v_{лодки} + v_{течения}$. $$ v_{по~течению} = \frac{S}{4} + \frac{S}{12} = \frac{3S}{12} + \frac{S}{12} = \frac{4S}{12} = \frac{S}{3} $$ Теперь найдём время: $$ t_{по~течению} = \frac{S}{v_{по~течению}} = \frac{S}{\frac{S}{3}} = 3 \text{ часа} $$ 3. **Время против течения.** Когда лодка плывёт против течения, её скорость равна $v_{лодки} - v_{течения}$. $$ v_{против~течения} = \frac{S}{4} - \frac{S}{12} = \frac{3S}{12} - \frac{S}{12} = \frac{2S}{12} = \frac{S}{6} $$ Найдём время: $$ t_{против~течения} = \frac{S}{v_{против~течения}} = \frac{S}{\frac{S}{6}} = 6 \text{ часов} $$ **Ответ: 3 часа по течению и 6 часов против течения.**