За сколько дней выполнит заказ бригада из трёх рабочих разной квалификации?

Привет! Давай разберёмся с этими задачками. Всё не так сложно, как кажется. Вот решения по порядку. ### Задача №15 Чтобы найти, за сколько дней рабочие выполнят заказ вместе, нужно сначала определить, какую часть заказа каждый из них делает за один день. Это их «скорость» работы. Потом мы сложим их скорости и узнаем, как быстро они будут работать втроём. 1. **Найдём производительность каждого рабочего:** * Рабочий высшего разряда: $$ \frac{1}{20} $$ заказа в день. * Менее опытный рабочий: $$ \frac{1}{12} $$ заказа в день. * Рабочий самой низкой квалификации: $$ \frac{1}{30} $$ заказа в день. 2. **Сложим их производительности, чтобы найти общую:** $$ \frac{1}{20} + \frac{1}{12} + \frac{1}{30} $$ Приведём дроби к общему знаменателю 60: $$ \frac{3}{60} + \frac{5}{60} + \frac{2}{60} = \frac{3+5+2}{60} = \frac{10}{60} = \frac{1}{6} $$ Вместе они выполняют $$ \frac{1}{6} $$ заказа в день. 3. **Найдём общее время:** Если за день они делают $$ \frac{1}{6} $$ заказа, то весь заказ они выполнят за 6 дней. **Ответ: 6 дней.** ### Задача №16 Здесь похожий принцип. Мы знаем, как быстро работают отец и сын вместе, и как быстро работает один отец. Чтобы найти скорость работы сына, нужно из общей скорости вычесть скорость отца. 1. **Общая производительность (отец и сын):** $$ \frac{1}{12} $$ забора в час. 2. **Производительность отца:** $$ \frac{1}{21} $$ забора в час. 3. **Производительность сына:** $$ \frac{1}{12} - \frac{1}{21} $$ Общий знаменатель для 12 и 21 — это 84. $$ \frac{7}{84} - \frac{4}{84} = \frac{3}{84} = \frac{1}{28} $$ Сын красит $$ \frac{1}{28} $$ забора в час. 4. **Время работы сына:** Если за час сын красит $$ \frac{1}{28} $$ забора, то весь забор он покрасит за 28 часов. **Ответ: 28 часов.** ### Задача №17 Когда велосипедист и пешеход движутся навстречу друг другу, их скорости складываются. Это называется «скорость сближения». 1. **Скорость велосипедиста:** $$ \frac{1}{16} $$ всего пути в минуту. 2. **Скорость пешехода:** $$ \frac{1}{48} $$ всего пути в минуту. 3. **Скорость сближения:** $$ \frac{1}{16} + \frac{1}{48} = \frac{3}{48} + \frac{1}{48} = \frac{4}{48} = \frac{1}{12} $$ Каждую минуту они становятся ближе на $$ \frac{1}{12} $$ всего расстояния. 4. **Время до встречи:** Они встретятся, когда преодолеют всё расстояние. Это займёт 12 минут. **Ответ: 12 минут.** ### Задача №18 Эта задача решается точно так же, как задача №16. **а)** 1. **Общая скорость расхода материалов (два цеха):** $$ \frac{1}{10} $$ в день. 2. **Скорость первого цеха:** $$ \frac{1}{15} $$ в день. 3. **Скорость второго цеха:** $$ \frac{1}{10} - \frac{1}{15} = \frac{3}{30} - \frac{2}{30} = \frac{1}{30} $$ в день. 4. **Время для второго цеха:** Второму цеху материалов хватит на 30 дней. **Ответ: 30 дней.** **б)** 1. **Общая скорость (два тракториста):** $$ \frac{1}{6} $$ поля в час. 2. **Скорость первого тракториста:** $$ \frac{1}{10} $$ поля в час. 3. **Скорость второго тракториста:** $$ \frac{1}{6} - \frac{1}{10} = \frac{5}{30} - \frac{3}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15} $$ поля в час. 4. **Время для второго тракториста:** Второй тракторист вспашет поле за 15 часов. **Ответ: 15 часов.** ### Задача №19 Плот плывёт со скоростью течения реки. Чтобы найти эту скорость, можно использовать данные о движении катера по течению и против течения. 1. **Скорость катера по течению:** $$ V_{катера} + V_{течения} = \frac{D}{6} $$ (где D — расстояние). 2. **Скорость катера против течения:** $$ V_{катера} - V_{течения} = \frac{D}{8} $$. 3. Чтобы найти скорость течения ($$V_{течения}$$), вычтем второе уравнение из первого: $$ (V_{катера} + V_{течения}) - (V_{катера} - V_{течения}) = \frac{D}{6} - \frac{D}{8} $$ $$ 2 \cdot V_{течения} = \frac{4D - 3D}{24} = \frac{D}{24} $$ $$ V_{течения} = \frac{D}{48} $$ 4. Время для плота равно расстояние, делённое на его скорость (скорость течения): $$ T_{плота} = \frac{D}{V_{течения}} = \frac{D}{D/48} = 48 $$ **Ответ: 48 часов.** ### Задача №20 Похожа на предыдущую. Скорость плота — это скорость течения реки. 1. **Скорость течения (плота):** $$ V_{течения} = \frac{D}{72} $$. 2. **Скорость катера по течению:** $$ V_{катера} + V_{течения} = \frac{D}{8} $$. 3. Найдём собственную скорость катера: $$ V_{катера} = \frac{D}{8} - V_{течения} = \frac{D}{8} - \frac{D}{72} = \frac{9D - D}{72} = \frac{8D}{72} = \frac{D}{9} $$. 4. Найдём скорость катера против течения: $$ V_{против} = V_{катера} - V_{течения} = \frac{D}{9} - \frac{D}{72} = \frac{8D - D}{72} = \frac{7D}{72} $$. 5. Найдём время на обратный путь: $$ T_{против} = \frac{D}{V_{против}} = \frac{D}{7D/72} = \frac{72}{7} = 10\frac{2}{7} $$ **Ответ: 10 2/7 часа.** ### Задача №21 Скорость лодки в озере — это её собственная скорость. Скорость плота — это скорость течения. 1. **Собственная скорость лодки:** $$ V_{лодки} = \frac{D}{4} $$. 2. **Скорость течения:** $$ V_{течения} = \frac{D}{12} $$. 3. **Время по течению:** $$ T_{по} = \frac{D}{V_{лодки} + V_{течения}} = \frac{D}{\frac{D}{4} + \frac{D}{12}} = \frac{D}{\frac{3D+D}{12}} = \frac{D}{\frac{4D}{12}} = \frac{12}{4} = 3 $$ 4. **Время против течения:** $$ T_{против} = \frac{D}{V_{лодки} - V_{течения}} = \frac{D}{\frac{D}{4} - \frac{D}{12}} = \frac{D}{\frac{3D-D}{12}} = \frac{D}{\frac{2D}{12}} = \frac{12}{2} = 6 $$ **Ответ: 3 часа по течению и 6 часов против течения.** ### Задача №22 Эти задачи решаются через систему уравнений. Нужно сложить все известные скорости, а потом разделить на 2, чтобы убрать дублирование. **1)** * $$ Б_1 + Б_2 = \frac{1}{9} $$ * $$ Б_2 + Б_3 = \frac{1}{18} $$ * $$ Б_1 + Б_3 = \frac{1}{12} $$ Сложим всё вместе: $$ 2(Б_1 + Б_2 + Б_3) = \frac{1}{9} + \frac{1}{18} + \frac{1}{12} = \frac{4}{36} + \frac{2}{36} + \frac{3}{36} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4} $$ $$ Б_1 + Б_2 + Б_3 = \frac{1}{4} \div 2 = \frac{1}{8} $$ Вместе они выполнят работу за 8 дней. **Ответ: 8 дней.** **2)** * Время 1: 1 ч 10 мин = 70 мин. $$ Т_1 + Т_2 = \frac{1}{70} $$ * Время 2: 1 ч 24 мин = 84 мин. $$ Т_1 + Т_3 = \frac{1}{84} $$ * Время 3: 2 ч 20 мин = 140 мин. $$ Т_2 + Т_3 = \frac{1}{140} $$ Сложим всё вместе: $$ 2(Т_1 + Т_2 + Т_3) = \frac{1}{70} + \frac{1}{84} + \frac{1}{140} $$ Общий знаменатель 420: $$ 2(Т_1 + Т_2 + Т_3) = \frac{6}{420} + \frac{5}{420} + \frac{3}{420} = \frac{14}{420} = \frac{1}{30} $$ $$ Т_1 + Т_2 + Т_3 = \frac{1}{30} \div 2 = \frac{1}{60} $$ Вместе они наполнят бассейн за 60 минут. **Ответ: 60 минут или 1 час.** ### Задачи №23 и №24 Здесь много похожих примеров на вычисления с дробями. Давай разберём первые несколько, чтобы понять принцип. **№23** **а) $$ 12\frac{5}{8} - 1\frac{7}{12} + 2\frac{1}{3} $$** Сначала работаем с целыми частями, потом с дробными. $$ (12 - 1 + 2) + (\frac{5}{8} - \frac{7}{12} + \frac{1}{3}) = 13 + (\frac{15}{24} - \frac{14}{24} + \frac{8}{24}) = 13 + \frac{9}{24} = 13\frac{3}{8} $$ **б) $$ 3\frac{3}{8} + 3\frac{1}{24} - 5\frac{1}{3} $$** $$ (3 + 3 - 5) + (\frac{3}{8} + \frac{1}{24} - \frac{1}{3}) = 1 + (\frac{9}{24} + \frac{1}{24} - \frac{8}{24}) = 1 + \frac{2}{24} = 1\frac{1}{12} $$ **№24 (Рациональным способом — значит, нужно найти самый удобный порядок действий)** **А) $$ 6\frac{1}{3} - (1\frac{2}{3} + 3\frac{1}{8}) $$** Раскроем скобки. Удобно сначала вычесть $$1\frac{2}{3}$$ из $$6\frac{1}{3}$$. $$ 6\frac{1}{3} - 1\frac{2}{3} - 3\frac{1}{8} = (5 + \frac{4}{3} - 1\frac{2}{3}) - 3\frac{1}{8} = 4\frac{2}{3} - 3\frac{1}{8} = 1 + (\frac{2}{3} - \frac{1}{8}) = 1 + (\frac{16-3}{24}) = 1\frac{13}{24} $$ **Б) $$ 6\frac{1}{4} - (2\frac{1}{2} - 1\frac{1}{4}) $$** Сначала посчитаем в скобках. $$ 2\frac{1}{2} - 1\frac{1}{4} = 2\frac{2}{4} - 1\frac{1}{4} = 1\frac{1}{4} $$ Теперь основное действие: $$ 6\frac{1}{4} - 1\frac{1}{4} = 5 $$ Надеюсь, эти объяснения помогут тебе разобраться! Если что-то осталось непонятным, спрашивай.