Реши уравнение 2 sin 2x - 3(sin x + cos x) + 2 = 0

Привет! Давай разберёмся с этими тригонометрическими уравнениями. Все они решаются одним и тем же хитрым способом. Смотри, какой. ### Метод решения Во всех этих уравнениях есть $sin(2x)$ и сумма $(sin(x) + cos(x))$. Тут можно сделать замену, чтобы упростить уравнение. 1. Обозначим $t = sin(x) + cos(x)$. 2. Возведём обе части в квадрат: $t^2 = (sin(x) + cos(x))^2 = sin^2(x) + 2sin(x)cos(x) + cos^2(x)$. 3. Мы знаем, что $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$ и $2sin(x)cos(x) = sin(2x)$. 4. Получается, $t^2 = 1 + sin(2x)$, откуда $sin(2x) = t^2 - 1$. Теперь, используя эту замену, решим каждое уравнение. *** **1) $2sin(2x) - 3(sin(x) + cos(x)) + 2 = 0$** Подставляем наши замены: $t = sin(x) + cos(x)$ и $sin(2x) = t^2 - 1$. $$2(t^2 - 1) - 3t + 2 = 0$$ $$2t^2 - 2 - 3t + 2 = 0$$ $$2t^2 - 3t = 0$$ $$t(2t - 3) = 0$$ Отсюда $t = 0$ или $t = \frac{3}{2}$. Теперь вернёмся к $x$: * Если $t=0$, то $sin(x) + cos(x) = 0$. Делим на $cos(x)$ (он не равен нулю) и получаем $tg(x) = -1$. $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n$ — любое целое число. * Если $t=\frac{3}{2}$, то $sin(x) + cos(x) = \frac{3}{2}$. Чтобы это решить, умножим и разделим на $\sqrt{2}$: $\sqrt{2}sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{3}{2}$, откуда $sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{3}{2\sqrt{2}}$. Это значение больше 1, а синус не может быть больше 1. Значит, здесь решений нет. **Ответ:** $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$ *** **2) $sin(2x) + 3 = 3sin(x) + 3cos(x)$** Перенесём всё в одну сторону: $sin(2x) - 3(sin(x) + cos(x)) + 3 = 0$. Снова делаем замену: $$(t^2 - 1) - 3t + 3 = 0$$ $$t^2 - 3t + 2 = 0$$ По теореме Виета, корни $t_1 = 1$, $t_2 = 2$. * Если $t=1$, то $sin(x) + cos(x) = 1$. Это даёт $\sqrt{2}sin(x + \frac{\pi}{4}) = 1$, или $sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Отсюда $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies x = 2\pi n$ и $x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$. * Если $t=2$, то $sin(x) + cos(x) = 2$. Это даёт $sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$, что больше 1. Решений нет. **Ответ:** $x = 2\pi n$, $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z$ *** **3) $sin(2x) + 4(sin(x) + cos(x)) + 4 = 0$** Делаем замену: $$(t^2 - 1) + 4t + 4 = 0$$ $$t^2 + 4t + 3 = 0$$ Корни $t_1 = -1$, $t_2 = -3$. * Если $t=-1$, то $sin(x) + cos(x) = -1$. Это даёт $\sqrt{2}sin(x + \frac{\pi}{4}) = -1$, или $sin(x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$. Отсюда $x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$ и $x + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n \implies x = \pi + 2\pi n$. * Если $t=-3$, то $sin(x) + cos(x) = -3$. Это даёт $sin(x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{3}{\sqrt{2}}$, что меньше -1. Решений нет. **Ответ:** $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, $x = \pi + 2\pi n, n \in Z$ *** **4) $sin(2x) + 5(cos(x) + sin(x) + 1) = 0$** Раскроем скобки: $sin(2x) + 5(sin(x) + cos(x)) + 5 = 0$. И снова наша замена: $$(t^2 - 1) + 5t + 5 = 0$$ $$t^2 + 5t + 4 = 0$$ Корни $t_1 = -1$, $t_2 = -4$. * Если $t=-1$, то $sin(x) + cos(x) = -1$. Мы уже решали это в предыдущем задании. Ответы те же: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$ и $x = \pi + 2\pi n$. * Если $t=-4$, то $sin(x) + cos(x) = -4$. Это даёт $sin(x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{4}{\sqrt{2}} = -2\sqrt{2}$, что меньше -1. Решений нет. **Ответ:** $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, $x = \pi + 2\pi n, n \in Z$