Привет! Давай разберёмся с этими тригонометрическими уравнениями. Они все решаются похожим способом, так что, поняв первый пример, ты легко справишься с остальными. Главный трюк здесь — это замена переменной.
### Общий подход
Во всех этих уравнениях есть слагаемые $\sin(2x)$ и $(\sin x + \cos x)$.
1. Давай введём новую переменную. Пусть $t = \sin x + \cos x$.
2. Теперь возведём это равенство в квадрат: $t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x$.
3. Мы знаем, что $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ (это основное тригонометрическое тождество) и $2\sin x \cos x = \sin(2x)$ (формула двойного угла).
4. Получается, что $t^2 = 1 + \sin(2x)$. Отсюда мы можем выразить $\sin(2x) = t^2 - 1$.
Теперь, используя эту замену, решим каждое уравнение.
### 1) $2 \sin 2x - 3 (\sin x + \cos x) + 2 = 0$
Подставляем наши выражения с $t$:
$$2(t^2 - 1) - 3t + 2 = 0$$
$$2t^2 - 2 - 3t + 2 = 0$$
$$2t^2 - 3t = 0$$
Вынесем $t$ за скобки:
$$t(2t - 3) = 0$$
Отсюда $t = 0$ или $2t - 3 = 0 \Rightarrow t = \frac{3}{2}$.
Теперь вернёмся к $x$:
* Если $t=0$, то $\sin x + \cos x = 0$. Делим всё на $\cos x$ (он не равен нулю в этом случае) и получаем $\tan x = -1$.
**Ответ:** $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
* Если $t = \frac{3}{2}$, то $\sin x + \cos x = \frac{3}{2}$. Максимальное значение выражения $\sin x + \cos x$ равно $\sqrt{2} \approx 1.41$, а $\frac{3}{2} = 1.5$. Так как $1.5 > \sqrt{2}$, здесь решений нет.
### 2) $\sin 2x + 3 = 3 \sin x + 3 \cos x$
Перенесём всё в одну сторону: $\sin 2x - 3(\sin x + \cos x) + 3 = 0$.
Делаем ту же замену:
$$(t^2 - 1) - 3t + 3 = 0$$
$$t^2 - 3t + 2 = 0$$
Это квадратное уравнение. Его корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.
Возвращаемся к $x$:
* Если $t=1$, то $\sin x + \cos x = 1$. Это уравнение даёт два семейства корней:
$x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
* Если $t=2$, то $\sin x + \cos x = 2$. Как мы уже выяснили, это выражение не может быть больше $\sqrt{2}$, поэтому здесь решений нет.
**Ответ:** $x = 2\pi k$; $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
### 3) $\sin 2x + 4 (\sin x + \cos x) + 4 = 0$
Снова заменяем:
$$(t^2 - 1) + 4t + 4 = 0$$
$$t^2 + 4t + 3 = 0$$
Корни этого уравнения: $t_1 = -1$ и $t_2 = -3$.
Возвращаемся к $x$:
* Если $t = -1$, то $\sin x + \cos x = -1$. Корни:
$x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
* Если $t=-3$, то $\sin x + \cos x = -3$. Минимальное значение этого выражения равно $-\sqrt{2} \approx -1.41$. Так как $-3 < -\sqrt{2}$, решений нет.
**Ответ:** $x = \pi + 2\pi k$; $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
### 4) $\sin 2x + 5 (\cos x + \sin x + 1) = 0$
Раскроем скобки: $\sin 2x + 5(\sin x + \cos x) + 5 = 0$.
Замена:
$$(t^2 - 1) + 5t + 5 = 0$$
$$t^2 + 5t + 4 = 0$$
Корни: $t_1 = -1$ и $t_2 = -4$.
Возвращаемся к $x$:
* Если $t=-1$, то $\sin x + \cos x = -1$. Это то же самое уравнение, что и в предыдущем пункте.
Корни: $x = \pi + 2\pi k$ и $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
* Если $t=-4$, то $\sin x + \cos x = -4$. Решений нет, так как $-4 < -\sqrt{2}$.
**Ответ:** $x = \pi + 2\pi k$; $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Надеюсь, теперь всё стало понятнее! У тебя отлично получается.
