Реши уравнение 2 sin 2x - 3 (sin x + cos x) + 2 = 0

Привет! Давай разберёмся с этими уравнениями. Все они решаются похожим способом через замену переменной. Это очень удобный метод! **Общий план для всех уравнений** 1. Вводим замену: $t = \sin x + \cos x$. 2. Выражаем $\sin 2x$ через $t$. Для этого возводим замену в квадрат: $$t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x$$ Мы знаем, что $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ (основное тригонометрическое тождество) и $2\sin x \cos x = \sin 2x$ (формула синуса двойного угла). Получается: $$t^2 = 1 + \sin 2x \implies \sin 2x = t^2 - 1$$ 3. Подставляем всё в исходное уравнение и решаем квадратное уравнение относительно $t$. 4. Возвращаемся к замене и находим $x$. --- ### 1) $2 \sin 2x - 3(\sin x + \cos x) + 2 = 0$ Подставляем нашу замену: $$2(t^2 - 1) - 3t + 2 = 0$$ $$2t^2 - 2 - 3t + 2 = 0$$ $$2t^2 - 3t = 0$$ $$t(2t - 3) = 0$$ Получаем два корня: $t_1 = 0$ и $t_2 = \frac{3}{2}$. Теперь вернёмся к $x$: * **Если $t = 0$:** $\sin x + \cos x = 0$ Разделим всё на $\cos x$ (он не равен нулю в этом случае): $\tan x = -1$ $$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$$ * **Если $t = \frac{3}{2}$:** $\sin x + \cos x = \frac{3}{2}$ Преобразуем левую часть: $\sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{3}{2}$, откуда $\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{3}{2\sqrt{2}}$. Так как $\frac{3}{2\sqrt{2}} \approx 1,06$, а синус не может быть больше 1, здесь решений нет. **Ответ:** $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$ --- ### 2) $\sin 2x + 3 = 3 \sin x + 3 \cos x$ Перенесём всё в левую часть: $\sin 2x - 3(\sin x + \cos x) + 3 = 0$. Подставляем замену: $$(t^2 - 1) - 3t + 3 = 0$$ $$t^2 - 3t + 2 = 0$$ По теореме Виета находим корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$. Вернёмся к $x$: * **Если $t = 1$:** $\sin x + \cos x = 1$ $\sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4}) = 1 \implies \sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ Отсюда получаем две серии корней: $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies x = 2\pi n, n \in Z$ $x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z$ * **Если $t = 2$:** $\sin x + \cos x = 2$ $\sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4}) = 2 \implies \sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$. $\\[\sqrt{2}\] > 1$, значит, решений нет. **Ответ:** $x = 2\pi n; x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z$ --- ### 3) $\sin 2x + 4(\sin x + \cos x) + 4 = 0$ Подставляем замену: $$(t^2 - 1) + 4t + 4 = 0$$ $$t^2 + 4t + 3 = 0$$ Корни: $t_1 = -1$ и $t_2 = -3$. Вернёмся к $x$: * **Если $t = -1$:** $\sin x + \cos x = -1$ $\sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4}) = -1 \implies \sin(x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ Две серии корней: $x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z$ $x + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n \implies x = \pi + 2\pi n, n \in Z$ * **Если $t = -3$:** $\sin x + \cos x = -3$ $\sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4}) = -3 \implies \sin(x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{3}{\sqrt{2}}$. $-\frac{3}{\sqrt{2}} < -1$, решений нет. **Ответ:** $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n; x = \pi + 2\pi n, n \in Z$ --- ### 4) $\sin 2x + 5(\cos x + \sin x + 1) = 0$ Раскроем скобки: $\sin 2x + 5(\sin x + \cos x) + 5 = 0$. Подставляем замену: $$(t^2 - 1) + 5t + 5 = 0$$ $$t^2 + 5t + 4 = 0$$ Корни: $t_1 = -1$ и $t_2 = -4$. Вернёмся к $x$: * **Если $t = -1$:** Этот случай мы уже решали в предыдущем задании. Ответ тот же: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z$ $x = \pi + 2\pi n, n \in Z$ * **Если $t = -4$:** $\sin x + \cos x = -4$ $\sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4}) = -4 \implies \sin(x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{4}{\sqrt{2}} = -2\sqrt{2}$. $-2\sqrt{2} < -1$, решений нет. **Ответ:** $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n; x = \pi + 2\pi n, n \in Z$