Реши уравнение 3^{2x} − 3^x − 702 = 0

Привет! Давай разберёмся с этими уравнениями. Почти все они решаются одним и тем же способом: мы превращаем их в обычные квадратные уравнения. Смотри, как это работает. ### 1) $3^{2x} - 3^x - 702 = 0$ Заметим, что $3^{2x}$ — это то же самое, что и $(3^x)^2$. Перепишем уравнение: $$(3^x)^2 - 3^x - 702 = 0$$ Теперь сделаем замену. Пусть $t = 3^x$. Тогда уравнение станет таким: $$t^2 - t - 702 = 0$$ Это обычное квадратное уравнение. Найдём его корни через дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-702) = 1 + 2808 = 2809 = 53^2$ $t_1 = \frac{1 + 53}{2} = 27$ $t_2 = \frac{1 - 53}{2} = -26$ Теперь вернёмся к нашей замене: 1. $3^x = 27 \implies 3^x = 3^3 \implies x = 3$ 2. $3^x = -26$. У этого уравнения нет решений, потому что $3$ в любой степени будет положительным числом. **Ответ: 3** ### 2) $4^x - 2^x = 12$ Перепишем $4^x$ как $(2^2)^x = (2^x)^2$ и перенесём 12 влево: $$(2^x)^2 - 2^x - 12 = 0$$ Пусть $t = 2^x$. Получаем: $$t^2 - t - 12 = 0$$ Найдём корни (например, по теореме Виета: произведение –12, сумма 1): $t_1 = 4$ $t_2 = -3$ Возвращаемся к замене: 1. $2^x = 4 \implies 2^x = 2^2 \implies x = 2$ 2. $2^x = -3$. Решений нет. **Ответ: 2** ### 3) $3^{2x-1} - 3^{x-1} = 2$ Используем свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$: $$\frac{3^{2x}}{3} - \frac{3^x}{3} = 2$$ Умножим всё на 3, чтобы избавиться от дробей: $$3^{2x} - 3^x = 6$$ $$(3^x)^2 - 3^x - 6 = 0$$ Пусть $t = 3^x$: $$t^2 - t - 6 = 0$$ Корни: $t_1 = 3$, $t_2 = -2$. Возвращаемся к замене: 1. $3^x = 3 \implies x = 1$ 2. $3^x = -2$. Решений нет. **Ответ: 1** ### 4) $3 \cdot 9^x + 11 \cdot 3^x = 4$ Перепишем $9^x$ как $(3^x)^2$ и перенесём 4 влево: $$3 \cdot (3^x)^2 + 11 \cdot 3^x - 4 = 0$$ Пусть $t = 3^x$: $$3t^2 + 11t - 4 = 0$$ Решаем через дискриминант: $D = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 121 + 48 = 169 = 13^2$ $t_1 = \frac{-11 + 13}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ $t_2 = \frac{-11 - 13}{6} = -4$ Возвращаемся к замене: 1. $3^x = \frac{1}{3} \implies 3^x = 3^{-1} \implies x = -1$ 2. $3^x = -4$. Решений нет. **Ответ: -1** ### 5) $9^x - 3^x - 6 = 0$ Это уравнение почти такое же, как в пункте 3. $$(3^x)^2 - 3^x - 6 = 0$$ Пусть $t = 3^x$. Тогда $t^2 - t - 6 = 0$. Корни $t_1 = 3$ и $t_2 = -2$. Возвращаемся к замене: 1. $3^x = 3 \implies x = 1$ 2. $3^x = -2$. Решений нет. **Ответ: 1** ### 6) $5^{2x+1} + 4 \cdot 5^x - 1 = 0$ Используем свойство $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$: $$5^{2x} \cdot 5^1 + 4 \cdot 5^x - 1 = 0$$ $$5 \cdot (5^x)^2 + 4 \cdot 5^x - 1 = 0$$ Пусть $t = 5^x$: $$5t^2 + 4t - 1 = 0$$ Корни: $t_1 = \frac{1}{5}$, $t_2 = -1$. Возвращаемся к замене: 1. $5^x = \frac{1}{5} \implies 5^x = 5^{-1} \implies x = -1$ 2. $5^x = -1$. Решений нет. **Ответ: -1** ### 7) $3^{2x+5} - 3^{x+2} = 2$ Распишем степени: $$3^{2x} \cdot 3^5 - 3^x \cdot 3^2 - 2 = 0$$ $$243 \cdot (3^x)^2 - 9 \cdot 3^x - 2 = 0$$ Пусть $t = 3^x$: $$243t^2 - 9t - 2 = 0$$ Решаем через дискриминант: $D = (-9)^2 - 4 \cdot 243 \cdot (-2) = 81 + 1944 = 2025 = 45^2$ $t_1 = \frac{9 + 45}{2 \cdot 243} = \frac{54}{486} = \frac{1}{9}$ $t_2 = \frac{9 - 45}{486} < 0$ Возвращаемся к замене: 1. $3^x = \frac{1}{9} \implies 3^x = 3^{-2} \implies x = -2$ 2. Второй корень $t_2$ отрицательный, поэтому решений нет. **Ответ: -2** ### 8) $16^x - 17 \cdot 4^x + 16 = 0$ Перепишем $16^x$ как $(4^x)^2$: $$(4^x)^2 - 17 \cdot 4^x + 16 = 0$$ Пусть $t = 4^x$: $$t^2 - 17t + 16 = 0$$ Корни (по теореме Виета: произведение 16, сумма 17): $t_1 = 16$ $t_2 = 1$ Возвращаемся к замене: 1. $4^x = 16 \implies 4^x = 4^2 \implies x = 2$ 2. $4^x = 1 \implies 4^x = 4^0 \implies x = 0$ **Ответ: 0; 2**