Реши уравнение 3^{2x} - 3^x - 702 = 0

Привет! Давай разберём эти показательные уравнения. Они решаются с помощью одного хитрого приёма — замены переменной. Это превращает их в обычные квадратные уравнения, которые ты уже умеешь решать. ### 1) $3^{2x} - 3^x - 702 = 0$ Заметим, что $3^{2x} = (3^x)^2$. Давай сделаем замену: пусть $t = 3^x$. Так как число в степени всегда положительное, то $t > 0$. Получаем квадратное уравнение: $$t^2 - t - 702 = 0$$ Найдём корни через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-702) = 1 + 2808 = 2809 = 53^2$ $t_1 = \frac{-(-1) + 53}{2 \cdot 1} = \frac{54}{2} = 27$ $t_2 = \frac{-(-1) - 53}{2 \cdot 1} = \frac{-52}{2} = -26$ Корень $t_2 = -26$ нам не подходит, так как $t$ должно быть больше нуля. Остаётся $t_1 = 27$. Вернёмся к нашей замене: $$3^x = 27$$ $$3^x = 3^3$$ $$x = 3$$ **Ответ: 3** ### 2) $4^x - 2^x = 12$ Перепишем уравнение: $4^x - 2^x - 12 = 0$. Заметим, что $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$. Сделаем замену: пусть $t = 2^x$ (где $t > 0$). $$t^2 - t - 12 = 0$$ Найдём корни. Можно по теореме Виета: $t_1 \cdot t_2 = -12$, $t_1 + t_2 = 1$. Корни: $4$ и $-3$. $t_1 = 4$ $t_2 = -3$ (не подходит, так как $t > 0$) Вернёмся к замене: $$2^x = 4$$ $$2^x = 2^2$$ $$x = 2$$ **Ответ: 2** ### 3) $3^{2x-1} - 3^{x-1} = 2$ Используем свойства степеней: $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$. $$\frac{3^{2x}}{3} - \frac{3^x}{3} = 2$$ Умножим всё уравнение на 3, чтобы избавиться от дробей: $$3^{2x} - 3^x = 6$$ $$(3^x)^2 - 3^x - 6 = 0$$ Сделаем замену $t = 3^x$ (где $t > 0$): $$t^2 - t - 6 = 0$$ По теореме Виета: $t_1 \cdot t_2 = -6$, $t_1 + t_2 = 1$. Корни: $3$ и $-2$. $t_1 = 3$ $t_2 = -2$ (не подходит) Вернёмся к замене: $$3^x = 3$$ $$3^x = 3^1$$ $$x = 1$$ **Ответ: 1** ### 4) $3 \cdot 9^x + 11 \cdot 3^x = 4$ Перепишем уравнение: $3 \cdot 9^x + 11 \cdot 3^x - 4 = 0$. Заметим, что $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$. Сделаем замену $t = 3^x$ (где $t > 0$). $$3t^2 + 11t - 4 = 0$$ Решим через дискриминант: $D = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 121 + 48 = 169 = 13^2$ $t_1 = \frac{-11 + 13}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ $t_2 = \frac{-11 - 13}{2 \cdot 3} = \frac{-24}{6} = -4$ (не подходит) Вернёмся к замене: $$3^x = \frac{1}{3}$$ $$3^x = 3^{-1}$$ $$x = -1$$ **Ответ: -1** ### 5) $9^x - 3^x - 6 = 0$ Это уравнение очень похоже на третье. Заменим $9^x$ на $(3^x)^2$. $$(3^x)^2 - 3^x - 6 = 0$$ Сделаем замену $t = 3^x$ (где $t > 0$): $$t^2 - t - 6 = 0$$ Корни этого уравнения мы уже находили: $t_1 = 3$ и $t_2 = -2$ (не подходит). Вернёмся к замене: $$3^x = 3$$ $$3^x = 3^1$$ $$x = 1$$ **Ответ: 1** ### 6) $5^{2x+1} + 4 \cdot 5^x - 1 = 0$ Используем свойство степеней: $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$. $$5^{2x} \cdot 5^1 + 4 \cdot 5^x - 1 = 0$$ $$5 \cdot (5^x)^2 + 4 \cdot 5^x - 1 = 0$$ Сделаем замену $t = 5^x$ (где $t > 0$). $$5t^2 + 4t - 1 = 0$$ Решим через дискриминант: $D = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36 = 6^2$ $t_1 = \frac{-4 + 6}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$ $t_2 = \frac{-4 - 6}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1$ (не подходит) Вернёмся к замене: $$5^x = \frac{1}{5}$$ $$5^x = 5^{-1}$$ $$x = -1$$ **Ответ: -1** ### 7) $3^{2x+5} - 3^{x+2} = 2$ Преобразуем уравнение, используя свойства степеней: $$3^{2x} \cdot 3^5 - 3^x \cdot 3^2 - 2 = 0$$ $$243 \cdot (3^x)^2 - 9 \cdot 3^x - 2 = 0$$ Сделаем замену $t = 3^x$ (где $t > 0$). $$243t^2 - 9t - 2 = 0$$ Решим через дискриминант: $D = (-9)^2 - 4 \cdot 243 \cdot (-2) = 81 + 1944 = 2025 = 45^2$ $t_1 = \frac{9 + 45}{2 \cdot 243} = \frac{54}{486} = \frac{1}{9}$ $t_2 = \frac{9 - 45}{2 \cdot 243} = \frac{-36}{486}$ (не подходит) Вернёмся к замене: $$3^x = \frac{1}{9}$$ $$3^x = 3^{-2}$$ $$x = -2$$ **Ответ: -2** ### 8) $16^x - 17 \cdot 4^x + 16 = 0$ Заметим, что $16^x = (4^x)^2$. Сделаем замену $t = 4^x$ (где $t > 0$). $$t^2 - 17t + 16 = 0$$ По теореме Виета: $t_1 \cdot t_2 = 16$, $t_1 + t_2 = 17$. Корни: $16$ и $1$. $t_1 = 16$ $t_2 = 1$ Оба корня положительные, значит, у нас будет два решения. 1. Вернёмся к замене для $t_1 = 16$: $$4^x = 16$$ $$4^x = 4^2$$ $$x = 2$$ 2. Вернёмся к замене для $t_2 = 1$: $$4^x = 1$$ $$4^x = 4^0$$ $$x = 0$$ **Ответ: 0; 2**