Реши уравнение 3^(2x) - 3^x - 702 = 0

Привет! Давай разберёмся с этими уравнениями. Это показательные уравнения. Их главная идея — свести всё к простому квадратному уравнению с помощью замены переменной. Сейчас покажу, как это работает. 1) $3^{2x} - 3^x - 702 = 0$ Заметим, что $3^{2x} = (3^x)^2$. Сделаем замену: пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция всегда положительна, $t > 0$. Уравнение принимает вид: $$t^2 - t - 702 = 0$$ Решаем это квадратное уравнение через дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-702) = 1 + 2808 = 2809 = 53^2$ $$t_1 = \frac{1 + 53}{2} = 27$$ $$t_2 = \frac{1 - 53}{2} = -26$$ Корень $t_2 = -26$ нам не подходит, так как $t$ должно быть больше нуля. Возвращаемся к замене: $3^x = 27$. Так как $27 = 3^3$, то $x = 3$. **Ответ: 3** 2) $4^x - 2^x = 12$ Перенесём 12 влево: $4^x - 2^x - 12 = 0$. Здесь $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$. Делаем замену $t = 2^x$, где $t > 0$. $$t^2 - t - 12 = 0$$ По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $t_1 = 4$, $t_2 = -3$. Корень $t_2 = -3$ не подходит. Остаётся $2^x = 4$. Так как $4 = 2^2$, то $x=2$. **Ответ: 2** 3) $3^{2x-1} - 3^{x-1} = 2$ Используем свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$: $$\frac{3^{2x}}{3} - \frac{3^x}{3} = 2$$ Умножим всё уравнение на 3, чтобы избавиться от дробей: $3^{2x} - 3^x = 6$, или $3^{2x} - 3^x - 6 = 0$. Пусть $t = 3^x$, $t > 0$. $$t^2 - t - 6 = 0$$ Корни: $t_1 = 3$, $t_2 = -2$. Корень $t_2 = -2$ не подходит. $3^x = 3$, значит $x=1$. **Ответ: 1** 4) $3 \cdot 9^x + 11 \cdot 3^x = 4$ Перенесём 4 влево: $3 \cdot 9^x + 11 \cdot 3^x - 4 = 0$. Так как $9^x = (3^x)^2$, делаем замену $t = 3^x$, $t > 0$. $$3t^2 + 11t - 4 = 0$$ Решаем через дискриминант: $D = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 121 + 48 = 169 = 13^2$ $$t_1 = \frac{-11 + 13}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$ $$t_2 = \frac{-11 - 13}{2 \cdot 3} = \frac{-24}{6} = -4$$ Корень $t_2 = -4$ не подходит. $3^x = \frac{1}{3}$. Так как $\frac{1}{3} = 3^{-1}$, то $x=-1$. **Ответ: -1** 5) $9^x - 3^x - 6 = 0$ Это уравнение очень похоже на третье. $9^x = (3^x)^2$. Пусть $t = 3^x$, $t > 0$. $$t^2 - t - 6 = 0$$ Корни: $t_1 = 3$, $t_2 = -2$. Корень $t_2 = -2$ не подходит. $3^x = 3$, значит $x=1$. **Ответ: 1** 6) $5^{2x+1} + 4 \cdot 5^x - 1 = 0$ Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$: $5^{2x} \cdot 5^1 + 4 \cdot 5^x - 1 = 0$ $5 \cdot (5^x)^2 + 4 \cdot 5^x - 1 = 0$ Пусть $t = 5^x$, $t > 0$. $$5t^2 + 4t - 1 = 0$$ $D = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36 = 6^2$ $$t_1 = \frac{-4 + 6}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$$ $$t_2 = \frac{-4 - 6}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1$$ Корень $t_2 = -1$ не подходит. $5^x = \frac{1}{5}$, значит $x=-1$. **Ответ: -1** 7) $3^{2x+5} - 3^{x+2} = 2$ Распишем степени: $3^{2x} \cdot 3^5 - 3^x \cdot 3^2 - 2 = 0$. $243 \cdot (3^x)^2 - 9 \cdot 3^x - 2 = 0$. Пусть $t = 3^x$, $t > 0$. $$243t^2 - 9t - 2 = 0$$ $D = (-9)^2 - 4 \cdot 243 \cdot (-2) = 81 + 1944 = 2025 = 45^2$ $$t_1 = \frac{9 + 45}{2 \cdot 243} = \frac{54}{486} = \frac{1}{9}$$ $$t_2 = \frac{9 - 45}{2 \cdot 243} = \frac{-36}{486}$$ Корень $t_2$ отрицательный, он не подходит. $3^x = \frac{1}{9}$. Так как $\frac{1}{9} = 3^{-2}$, то $x=-2$. **Ответ: -2** 8) $16^x - 17 \cdot 4^x + 16 = 0$ $16^x = (4^x)^2$. Пусть $t = 4^x$, $t > 0$. $$t^2 - 17t + 16 = 0$$ По теореме Виета: $t_1 = 1$, $t_2 = 16$. Оба корня положительные, поэтому у нас будет два ответа. Случай 1: $4^x = 1$. Любое число в степени 0 равно 1, значит $x=0$. Случай 2: $4^x = 16$. $16 = 4^2$, значит $x=2$. **Ответ: 0; 2**