Реши уравнение 3^{2x} - 3^x - 702 = 0

Привет! Давай разберёмся с этими уравнениями. Почти все они решаются одним и тем же методом — заменой переменной. Это когда мы сложное выражение временно заменяем одной буквой, чтобы уравнение стало проще. Давай по порядку. ### 1) $3^{2x} - 3^x - 702 = 0$ Заметим, что $3^{2x}$ — это то же самое, что $(3^x)^2$. Сделаем замену: пусть $t = 3^x$. Так как число в степени всегда положительное, то $t > 0$. Получаем обычное квадратное уравнение: $$t^2 - t - 702 = 0$$ Находим корни через дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-702) = 1 + 2808 = 2809$. Корень из дискриминанта $\sqrt{2809} = 53$. $t_1 = \frac{1+53}{2} = 27$ $t_2 = \frac{1-53}{2} = -26$ Корень $t_2 = -26$ нам не подходит, так как $t$ должно быть больше нуля. Возвращаемся к нашей замене: $3^x = 27$. Поскольку $27 = 3^3$, получаем $3^x = 3^3$. **Ответ: $x = 3$** ### 2) $4^x - 2^x = 12$ Перепишем уравнение: $4^x - 2^x - 12 = 0$. Так как $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$, сделаем замену $t = 2^x$ (где $t > 0$). $$t^2 - t - 12 = 0$$ По теореме Виета находим корни: $t_1 = 4$, $t_2 = -3$. Корень $t_2 = -3$ не подходит. Остаётся $t=4$. Возвращаемся к замене: $2^x = 4$, или $2^x = 2^2$. **Ответ: $x = 2$** ### 3) $3^{2x-1} - 3^{x-1} = 2$ Используем свойства степеней: $\frac{3^{2x}}{3} - \frac{3^x}{3} = 2$. Умножим всё на 3, чтобы избавиться от дробей: $(3^x)^2 - 3^x = 6$, или $(3^x)^2 - 3^x - 6 = 0$. Пусть $t = 3^x$ ($t > 0$). $$t^2 - t - 6 = 0$$ Корни: $t_1 = 3$, $t_2 = -2$. Корень $t_2 = -2$ отбрасываем. Возвращаемся к замене: $3^x = 3$, или $3^x = 3^1$. **Ответ: $x = 1$** ### 4) $3 \cdot 9^x + 11 \cdot 3^x = 4$ Перепишем: $3 \cdot (3^x)^2 + 11 \cdot 3^x - 4 = 0$. Пусть $t = 3^x$ ($t > 0$). $$3t^2 + 11t - 4 = 0$$ $D = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 121 + 48 = 169 = 13^2$. $t_1 = \frac{-11+13}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ $t_2 = \frac{-11-13}{6} = -4$ (не подходит). Возвращаемся к замене: $3^x = \frac{1}{3}$, или $3^x = 3^{-1}$. **Ответ: $x = -1$** ### 5) $9^x - 3^x - 6 = 0$ Это уравнение очень похоже на третье. Заменим $9^x$ на $(3^x)^2$. Пусть $t = 3^x$ ($t > 0$). $$t^2 - t - 6 = 0$$ Корни: $t_1 = 3$, $t_2 = -2$ (не подходит). Возвращаемся к замене: $3^x = 3$. **Ответ: $x = 1$** ### 6) $5^{2x+1} + 4 \cdot 5^x - 1 = 0$ Используем свойство степени: $5^{2x} \cdot 5^1 + 4 \cdot 5^x - 1 = 0$, или $5 \cdot (5^x)^2 + 4 \cdot 5^x - 1 = 0$. Пусть $t = 5^x$ ($t > 0$). $$5t^2 + 4t - 1 = 0$$ $D = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36 = 6^2$. $t_1 = \frac{-4+6}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$ $t_2 = \frac{-4-6}{10} = -1$ (не подходит). Возвращаемся к замене: $5^x = \frac{1}{5}$, или $5^x = 5^{-1}$. **Ответ: $x = -1$** ### 7) $3^{2x+5} - 3^{x+2} = 2$ Раскроем степени: $3^{2x} \cdot 3^5 - 3^x \cdot 3^2 - 2 = 0$, или $243 \cdot (3^x)^2 - 9 \cdot 3^x - 2 = 0$. Пусть $t = 3^x$ ($t > 0$). $$243t^2 - 9t - 2 = 0$$ $D = (-9)^2 - 4 \cdot 243 \cdot (-2) = 81 + 1944 = 2025 = 45^2$. $t_1 = \frac{9+45}{2 \cdot 243} = \frac{54}{486} = \frac{1}{9}$ $t_2 = \frac{9-45}{486} < 0$ (не подходит). Возвращаемся к замене: $3^x = \frac{1}{9}$, или $3^x = 3^{-2}$. **Ответ: $x = -2$** ### 8) $16^x - 17 \cdot 4^x + 16 = 0$ Заменим $16^x$ на $(4^x)^2$. Пусть $t = 4^x$ ($t > 0$). $$t^2 - 17t + 16 = 0$$ По теореме Виета корни: $t_1 = 16$, $t_2 = 1$. Оба корня подходят, так как они положительные. Получаем два случая: 1. $4^x = 16 \implies 4^x = 4^2 \implies x = 2$ 2. $4^x = 1 \implies 4^x = 4^0 \implies x = 0$ **Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 2$**