Пусть a < 0, b < 0. Доказать, что: 1) 3a + 4b < 0

Привет! Давай вместе разберём эти задачки. Всё не так сложно, как кажется! ### Задание 8 По условию, числа $a$ и $b$ — отрицательные. 1) **Доказать, что $3a + 4b < 0$** * Если отрицательное число $a$ умножить на положительное число 3, получится отрицательное число ($3a < 0$). * То же самое с $b$: если отрицательное число $b$ умножить на 4, получится отрицательное число ($4b < 0$). * Сумма двух отрицательных чисел всегда будет отрицательным числом. * Значит, $3a + 4b$ всегда меньше нуля. Доказано! 2) **Доказать, что $2a(a + b) > 0$** * Сумма двух отрицательных чисел $a$ и $b$ — это отрицательное число. Значит, $(a+b) < 0$. * Произведение положительного числа 2 и отрицательного $a$ — это отрицательное число. Значит, $2a < 0$. * Теперь мы умножаем два отрицательных числа: $2a$ и $(a+b)$. А «минус» на «минус» всегда даёт «плюс». * Значит, $2a(a+b)$ всегда больше нуля. Доказано! ### Задание 9 Здесь у нас $a$ — положительное число ($a>0$), а $b$ — отрицательное ($b<0$). 1) **Доказать, что $a - b > 0$** * Мы вычитаем из положительного числа $a$ отрицательное число $b$. Вычитание отрицательного числа — это то же самое, что и прибавление положительного: $a - b = a + (-b)$. * Так как $b$ отрицательное, то $-b$ будет положительным. Сумма двух положительных чисел ($a$ и $-b$) всегда положительна. * Значит, $a - b$ всегда больше нуля. 2) **Доказать, что $b - a < 0$** * Мы из отрицательного числа $b$ вычитаем положительное $a$. Это всё равно что к отрицательному $b$ прибавить отрицательное $-a$. * Сумма двух отрицательных чисел всегда отрицательна. * Значит, $b - a$ всегда меньше нуля. 3) **Доказать, что $a^2b + b^3 < 0$** * $a^2$ всегда положительно (любое число в квадрате, кроме нуля, — положительное). * Умножаем положительное $a^2$ на отрицательное $b$, получаем отрицательное число: $a^2b < 0$. * Отрицательное число $b$ в нечётной степени (3) останется отрицательным: $b^3 < 0$. * Сумма двух отрицательных чисел ($a^2b$ и $b^3$) будет отрицательной. * Значит, $a^2b + b^3 < 0$. 4) **Доказать, что $ab^3 + a^3b < 0$** * Вынесем общие множители $a$ и $b$ за скобки: $ab(b^2 + a^2) < 0$. * $a>0$, $b<0$, значит их произведение $ab$ отрицательно. * $a^2$ и $b^2$ — положительные числа, значит их сумма $(b^2 + a^2)$ тоже положительна. * Умножаем отрицательное число ($ab$) на положительное ($(b^2 + a^2)$), результат будет отрицательным. * Значит, $ab^3 + a^3b < 0$. ### Задание 10 Тут нужно определить знак выражения, не вычисляя его. 1) $(-17) \cdot (-1,281)^2$ * $(-1,281)^2$ будет положительным, так как любое число в квадрате положительно. * $(-17)$ — отрицательное. * Отрицательное умножить на положительное = **отрицательное**. 2) $(-2,23)^3 \cdot (-0,54)$ * $(-2,23)^3$ будет отрицательным (нечётная степень). * $(-0,54)$ — отрицательное. * Отрицательное умножить на отрицательное = **положительное**. 3) $(-0,37)^3 + (-2,7)^5$ * $(-0,37)^3$ — отрицательное. * $(-2,7)^5$ — отрицательное. * Сумма двух отрицательных чисел = **отрицательное**. 4) $(-3,21)^2 - (-45,4)$ * $(-3,21)^2$ — положительное. * $-(-45,4)$ это то же самое, что $+45,4$, то есть положительное число. * Сумма двух положительных чисел = **положительное**. ### Задание 11 **Допущение:** В условии нужно доказать, что значение выражения всегда **положительно**. 1) $2 - \frac{1}{a^2 + 1}$ * Выражение $a^2$ всегда неотрицательно ($≥0$). Значит, $a^2 + 1$ всегда больше или равно 1. * Тогда дробь $\frac{1}{a^2 + 1}$ всегда больше 0, но меньше или равна 1. * Мы из 2 вычитаем число, которое меньше или равно 1. Результат всегда будет $≥1$, а значит, всегда **положительным**. 2) $a^2 + \frac{1 - a^2}{1 + a^2}$ * Приведём к общему знаменателю: * $$ \frac{a^2(1 + a^2) + (1 - a^2)}{1 + a^2} = \frac{a^2 + a^4 + 1 - a^2}{1 + a^2} = \frac{a^4 + 1}{a^2 + 1} $$ * Числитель $a^4 + 1$ всегда положителен. * Знаменатель $a^2 + 1$ всегда положителен. * Частное двух положительных чисел всегда **положительно**. 3) $(3a + 2)^2 - 6a(a + 2)$ * Раскроем скобки: * $$ (9a^2 + 12a + 4) - (6a^2 + 12a) = 9a^2 + 12a + 4 - 6a^2 - 12a = 3a^2 + 4 $$ * $a^2$ всегда неотрицательно ($≥0$), значит $3a^2$ тоже. Если к неотрицательному числу прибавить 4, результат всегда будет $≥4$, то есть всегда **положительным**. 4) $(2a - 3)^2 - 3a(a - 4)$ * Раскроем скобки: * $$ (4a^2 - 12a + 9) - (3a^2 - 12a) = 4a^2 - 12a + 9 - 3a^2 + 12a = a^2 + 9 $$ * $a^2$ всегда неотрицательно ($≥0$). Если к неотрицательному числу прибавить 9, результат будет $≥9$, то есть всегда **положительным**.