Пусть a < 0, b < 0. Доказать, что 3a + 4b < 0.

Привет! Давай вместе разберёмся с этими заданиями. Всё не так сложно, как кажется! ### 8. Пусть $a < 0$, $b < 0$. Доказать, что: 1) $3a + 4b < 0$ * По условию $a$ и $b$ — отрицательные числа. * Если отрицательное число умножить на положительное (3 или 4), результат останется отрицательным. Значит, $3a < 0$ и $4b < 0$. * Сумма двух отрицательных чисел всегда будет отрицательным числом. * Следовательно, $3a + 4b < 0$. Что и требовалось доказать! 2) $2a(a + b) > 0$ * Мы знаем, что $a < 0$ и $b < 0$. Сумма двух отрицательных чисел $(a+b)$ тоже будет отрицательной. * Теперь посмотрим на произведение: $2 \cdot a \cdot (a + b)$. * Получается, мы умножаем положительное число (2) на отрицательное ($a$) и ещё на одно отрицательное ($(a+b)$). * Помним правило: «минус на минус даёт плюс». Значит, $a \cdot (a+b)$ будет положительным. А если его умножить на 2, оно так и останется положительным. * Следовательно, $2a(a + b) > 0$. Доказано! ### 9. Пусть $a > 0$, $b < 0$. Доказать, что: 1) $a - b > 0$ * Нам дано, что $a$ — положительное, а $b$ — отрицательное. Выражение $a - b$ можно записать как $a + (-b)$. * Если $b$ — отрицательное, то $-b$ — положительное. * Получается, мы складываем два положительных числа: $a$ и $-b$. Сумма будет положительной. * Значит, $a - b > 0$. 2) $b - a < 0$ * Выражение $b - a$ можно записать как $b + (-a)$. * $b$ — отрицательное, и $-a$ тоже отрицательное (потому что $a$ было положительным). * Сумма двух отрицательных чисел всегда отрицательна. * Значит, $b - a < 0$. 3) $a^2b + b^3 < 0$ * Вынесем $b$ за скобки: $b(a^2 + b^2)$. * Разберёмся со знаками множителей: $b$ и $(a^2 + b^2)$. * $b$ — отрицательное число. * $a^2$ — положительное (квадрат любого ненулевого числа положителен). * $b^2$ — тоже положительное. * Сумма двух положительных чисел $(a^2 + b^2)$ будет положительной. * Получаем произведение отрицательного числа ($b$) на положительное ($(a^2 + b^2)$). Результат будет отрицательным. * Значит, $a^2b + b^3 < 0$. 4) $ab^3 + a^3b < 0$ * Вынесем $ab$ за скобки: $ab(b^2 + a^2)$. * Разберёмся со знаками множителей: $a$, $b$ и $(b^2 + a^2)$. * $a$ — положительное, $b$ — отрицательное. Их произведение $ab$ будет отрицательным. * Сумма $(b^2 + a^2)$ будет положительной (как в прошлом пункте). * Умножаем отрицательное число ($ab$) на положительное ($(b^2 + a^2)$). Результат будет отрицательным. * Значит, $ab^3 + a^3b < 0$. ### 10. Не вычисляя, выяснить знак выражения: 1) $(-17) \cdot (-1,281)^2$ * $(-17)$ — отрицательное. * $(-1,281)^2$ — отрицательное число в квадрате (чётная степень), значит, результат будет положительным. * Произведение отрицательного и положительного чисел даёт **отрицательное** число. 2) $(-2,23)^3 \cdot (-0,54)$ * $(-2,23)^3$ — отрицательное число в кубе (нечётная степень), результат будет отрицательным. * $(-0,54)$ — отрицательное число. * Произведение двух отрицательных чисел даёт **положительное** число. 3) $(-0,37)^3 + (-2,7)^5$ * $(-0,37)^3$ — отрицательное число в нечётной степени, результат отрицательный. * $(-2,7)^5$ — отрицательное число в нечётной степени, результат тоже отрицательный. * Сумма двух отрицательных чисел — **отрицательное** число. 4) $(-3,21)^2 - (-45,4)$ * $(-3,21)^2$ — число в квадрате, результат положительный. * Выражение $-(-45,4)$ равно $+45,4$, то есть это положительное число. * Сумма двух положительных чисел — **положительное** число. ### 11. Доказать, что при любом $a$ значение выражения положительно: **Допущение:** В условии не указано, что именно нужно доказать. Судя по контексту, докажем, что выражения всегда принимают положительные значения. 1) $2 - \frac{1}{a^2 + 1}$ * $a^2$ всегда больше или равно нулю ($a^2 \ge 0$). * Значит, знаменатель $a^2 + 1$ всегда больше или равен 1 ($a^2 + 1 \ge 1$). * Тогда дробь $\frac{1}{a^2+1}$ всегда будет в промежутке от 0 (не включая) до 1 (включая), то есть $0 < \frac{1}{a^2+1} \le 1$. * Мы из 2 вычитаем число, которое меньше или равно 1. Результат всегда будет больше или равен $2-1=1$. * Значит, выражение всегда **положительно**. 2) $a^2 + \frac{1 - a^2}{1 + a^2}$ * Приведём к общему знаменателю: $$\frac{a^2(1 + a^2) + (1 - a^2)}{1 + a^2} = \frac{a^2 + a^4 + 1 - a^2}{1 + a^2} = \frac{a^4 + 1}{a^2 + 1}$$ * $a^4$ всегда $\ge 0$, значит $a^4 + 1 > 0$. * $a^2$ всегда $\ge 0$, значит $a^2 + 1 > 0$. * Деление положительного числа на положительное даёт **положительное** число. 3) $(3a + 2)^2 - 6a(a + 2)$ * Раскроем скобки: $$(9a^2 + 12a + 4) - (6a^2 + 12a)$$ * Упростим: $$9a^2 + 12a + 4 - 6a^2 - 12a = 3a^2 + 4$$ * $a^2$ всегда больше или равно нулю. Значит $3a^2$ тоже $\ge 0$. * $3a^2 + 4$ всегда будет больше или равно 4. А это всегда **положительное** число. 4) $(2a - 3)^2 - 3a(a - 4)$ * Раскроем скобки: $$(4a^2 - 12a + 9) - (3a^2 - 12a)$$ * Упростим: $$4a^2 - 12a + 9 - 3a^2 + 12a = a^2 + 9$$ * $a^2$ всегда больше или равно нулю. * $a^2 + 9$ всегда будет больше или равно 9. Это всегда **положительное** число.