В треугольнике ABC угол А равен 7°, а угол B равен 5°. Найдите внешний угол при вершине C.

Привет! Давай разберёмся с этой контрольной. Это отличная тренировка! Вот решения для каждого задания: 1. **Задание** В треугольнике ABC угол А равен $7^{\circ}$, а угол B равен $5^{\circ}$. Найдите внешний угол при вершине С. **Решение** Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Это значит, что внешний угол при вершине С равен сумме углов А и В. $$7^{\circ} + 5^{\circ} = 12^{\circ}$$ **Ответ: 12** 2. **Задание** В треугольнике ABC известно, что AC = 18, BM — медиана, BM = 14. Найдите АМ. **Решение** Медиана делит сторону, к которой она проведена, на две равные части. В нашем случае медиана BM проведена к стороне AC. Значит, точка М — это середина отрезка AC. $$АМ = \frac{AC}{2} = \frac{18}{2} = 9$$ Длина медианы BM здесь — лишняя информация, она нам не понадобилась. **Ответ: 9** 3. **Задание** В треугольнике ABC известно, что AB = BC, $\angle ABC = 122^{\circ}$. Найдите $\angle BCA$. **Решение** Раз стороны AB и BC равны, то треугольник ABC — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть $\angle BAC = \angle BCA$. Сумма всех углов в треугольнике равна $180^{\circ}$. Найдём сумму двух равных углов: $$180^{\circ} - 122^{\circ} = 58^{\circ}$$ Теперь разделим эту сумму на 2, чтобы найти каждый из них: $$\angle BCA = \frac{58^{\circ}}{2} = 29^{\circ}$$ **Ответ: 29** 4. **Задание** Периметр квадрата равен 160. Найдите площадь этого квадрата. **Решение** У квадрата все 4 стороны равны. Чтобы найти длину одной стороны, нужно периметр разделить на 4. $$a = \frac{160}{4} = 40$$ Площадь квадрата — это сторона, умноженная на саму себя ($a^2$). $$S = 40^2 = 1600$$ **Ответ: 1600** 5. **Задание** Два острых угла прямоугольного треугольника относятся как 2:3. Найдите больший острый угол. **Решение** В прямоугольном треугольнике один угол равен $90^{\circ}$. Сумма двух других острых углов тоже равна $90^{\circ}$ (потому что $180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$). Пусть одна часть — это $x$. Тогда один угол равен $2x$, а другой — $3x$. Вместе они составляют $90^{\circ}$. $$2x + 3x = 90^{\circ}$$ $$5x = 90^{\circ}$$ $$x = \frac{90^{\circ}}{5} = 18^{\circ}$$ Теперь найдём больший угол, который равен $3x$. $$3 \cdot 18^{\circ} = 54^{\circ}$$ **Ответ: 54** 6. **Задание** В треугольнике сумма некоторых двух углов равна $77^{\circ}$. Найдите его третий угол. **Решение** Сумма всех трёх углов любого треугольника всегда равна $180^{\circ}$. Если мы знаем сумму двух углов, то легко можем найти третий, просто вычтя эту сумму из $180^{\circ}$. $$180^{\circ} - 77^{\circ} = 103^{\circ}$$ **Ответ: 103** 7. **Задание** В треугольнике АВС внешний угол при вершине В равен $140^{\circ}$ и AC=BC. Найдите угол А. **Решение** Внешний и внутренний углы при одной вершине в сумме дают $180^{\circ}$. Найдём внутренний угол B: $$\angle ABC = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}$$ Нам известно, что AC = BC. Это значит, что треугольник ABC — равнобедренный, и углы при основании AB равны. То есть $\angle A = \angle B$. Раз $\angle ABC = 40^{\circ}$, то и $\angle A$ тоже равен $40^{\circ}$. **Ответ: 40**