В треугольнике АВС угол А равен 7°, а угол В равен 5°. Найди внешний угол при вершине С.

Привет! Давай разберём эту контрольную работу вместе. Всё не так сложно, как кажется! ### Задание 1 **Условие:** В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $7^\circ$, а угол $B$ равен $5^\circ$. Найдите внешний угол при вершине $C$. **Решение:** Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Это значит, что внешний угол при вершине $C$ равен сумме углов $A$ и $B$. $$ \angle A + \angle B = 7^\circ + 5^\circ = 12^\circ $$ **Ответ: 12** ### Задание 2 **Условие:** В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 18$. $BM$ — медиана, $BM = 14$. Найдите $AM$. **Решение:** Медиана — это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. $BM$ — это медиана, проведённая к стороне $AC$. Значит, точка $M$ делит сторону $AC$ пополам. $$ AM = \frac{AC}{2} = \frac{18}{2} = 9 $$ Длина самой медианы ($BM=14$) нам для решения этой задачи не нужна, это просто дополнительная информация. **Ответ: 9** ### Задание 3 **Условие:** В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, $\angle ABC = 122^\circ$. Найдите $\angle BCA$. **Решение:** Если у треугольника две стороны равны ($AB = BC$), то он называется равнобедренным. Углы при основании такого треугольника тоже равны. В нашем случае основание — это $AC$, значит, $\angle BAC = \angle BCA$. Сумма всех углов в любом треугольнике — $180^\circ$. $$ \angle BAC + \angle BCA + \angle ABC = 180^\circ $$ Пусть $\angle BCA = x$, тогда и $\angle BAC = x$. $$ x + x + 122^\circ = 180^\circ $$ $$ 2x = 180^\circ - 122^\circ $$ $$ 2x = 58^\circ $$ $$ x = \frac{58^\circ}{2} = 29^\circ $$ **Ответ: 29** ### Задание 4 **Условие:** Периметр квадрата равен 160. Найдите площадь этого квадрата. **Решение:** У квадрата все четыре стороны равны. Периметр — это сумма длин всех сторон. Если сторона квадрата — $a$, то периметр $P = 4a$. $$ 4a = 160 $$ $$ a = \frac{160}{4} = 40 $$ Площадь квадрата ($S$) вычисляется по формуле $S = a^2$. $$ S = 40^2 = 1600 $$ **Ответ: 1600** ### Задание 5 **Условие:** Два острых угла прямоугольного треугольника относятся как $2:3$. Найдите больший острый угол. **Решение:** В прямоугольном треугольнике один угол прямой, то есть равен $90^\circ$. Сумма всех углов — $180^\circ$, значит, на два острых угла остаётся $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Пусть одна часть в отношении равна $x$. Тогда один острый угол равен $2x$, а второй — $3x$. Их сумма равна $90^\circ$: $$ 2x + 3x = 90^\circ $$ $$ 5x = 90^\circ $$ $$ x = \frac{90^\circ}{5} = 18^\circ $$ Теперь найдём сами углы: Первый угол: $2x = 2 \cdot 18^\circ = 36^\circ$. Второй угол: $3x = 3 \cdot 18^\circ = 54^\circ$. Больший из них — $54^\circ$. **Ответ: 54** ### Задание 6 **Условие:** В треугольнике сумма некоторых двух углов равна $77^\circ$. Найдите его третий угол. **Решение:** Сумма всех трёх углов в любом треугольнике всегда равна $180^\circ$. Если сумма двух углов равна $77^\circ$, то чтобы найти третий, нужно просто вычесть эту сумму из $180^\circ$. $$ 180^\circ - 77^\circ = 103^\circ $$ **Ответ: 103** ### Задание 7 **Условие:** В треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $B$ равен $140^\circ$ и $AC=BC$. Найдите угол $A$. **Решение:** Внешний и внутренний углы при одной вершине в сумме дают $180^\circ$. Найдём внутренний угол $B$: $$ \angle ABC = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ $$ В условии сказано, что $AC = BC$. Это значит, что треугольник $ABC$ — равнобедренный, и его основание — сторона $AB$. Углы при основании равны: $\angle A = \angle B$. Значит, $\angle A$ тоже равен $40^\circ$. **Ответ: 40**