Две обувные фабрики вместе выполняют заказ за 20 дней. За сколько дней вторая фабрика выполнит этот заказ в одиночку, если ее производительность равна 40% производительности первой?

Сайн уу! Энэ бодлогуудыг хамтдаа бодоцгооё. ### а) Гутлын үйлдвэрийн бодлого Энэ бодлогыг алхам алхмаар бодож үзье. 1. **Ажлын хэмжээг тодорхойлъё:** Хоёр үйлдвэрийн хийх ёстой нийт ажлыг $1$ гэж үзье. Нэгдүгээр үйлдвэрийн ажлын бүтээмжийг (нэг өдөрт хийх ажлын хэмжээ) $P_1$, хоёрдугаар үйлдвэрийнхийг $P_2$ гэж тэмдэглэе. 2. **Тэгшитгэл зохиоё:** Хоёр үйлдвэр хамтдаа 20 хоногт ажлыг дуусгадаг тул тэдний нийлбэр бүтээмж нь: $$P_1 + P_2 = \frac{1}{20}$$ Хоёрдугаар үйлдвэрийн хүчин чадал нь нэгдүгээр үйлдвэрийн 40%-тай тэнцүү гэсэн тул: $$P_2 = 0.4 \times P_1$$ 3. **Бодолт:** Эхний тэгшитгэлд $P_2$-ийн утгыг орлуулъя: $$P_1 + (0.4 \times P_1) = \frac{1}{20}$$ $$1.4 \times P_1 = \frac{1}{20}$$ $$P_1 = \frac{1}{20 \times 1.4} = \frac{1}{28}$$ Одоо $P_2$-г олъё: $$P_2 = 0.4 \times P_1 = 0.4 \times \frac{1}{28} = \frac{0.4}{28} = \frac{1}{70}$$ Энэ нь хоёрдугаар үйлдвэр нэг өдөрт нийт ажлын $\frac{1}{70}$ хэсгийг хийдэг гэсэн үг. 4. **Эцсийн хариулт:** Хоёрдугаар үйлдвэр дангаараа энэ ажлыг хийхэд $T_2$ хугацаа орно. $$T_2 = \frac{1}{P_2} = \frac{1}{\frac{1}{70}} = 70$$ **Хариулт: Хоёрдугаар үйлдвэр дангаараа 70 хоногт гүйцэтгэнэ.** *Перевод:* Привет! Давай решим эти задачи вместе. ### а) Задача об обувной фабрике Давай решим эту задачу по шагам. 1. **Определим объём работы:** Примем всю работу, которую должны выполнить две фабрики, за $1$. Обозначим производительность первой фабрики (объём работы в день) как $P_1$, а второй — как $P_2$. 2. **Составим уравнения:** Две фабрики вместе выполняют работу за 20 дней, значит, их общая производительность: $$P_1 + P_2 = \frac{1}{20}$$ Производительность второй фабрики равна 40% от производительности первой, поэтому: $$P_2 = 0.4 \times P_1$$ 3. **Решение:** Подставим значение $P_2$ в первое уравнение: $$P_1 + (0.4 \times P_1) = \frac{1}{20}$$ $$1.4 \times P_1 = \frac{1}{20}$$ $$P_1 = \frac{1}{20 \times 1.4} = \frac{1}{28}$$ Теперь найдём $P_2$: $$P_2 = 0.4 \times P_1 = 0.4 \times \frac{1}{28} = \frac{0.4}{28} = \frac{1}{70}$$ Это означает, что вторая фабрика за один день выполняет $\frac{1}{70}$ всей работы. 4. **Окончательный ответ:** Время $T_2$, за которое вторая фабрика выполнит работу в одиночку: $$T_2 = \frac{1}{P_2} = \frac{1}{\frac{1}{70}} = 70$$ **Ответ: Вторая фабрика в одиночку выполнит заказ за 70 дней.** --- ### б) Ундааны үйлдвэрийн бодлого 1. **Савны багтаамж:** Нийт дүүргэх ёстой савны хэмжээг $1$ гэж үзье. Нэгдүгээр цоргоны бүтээмжийг (нэг цагт дүүргэх хэмжээ) $R_1$, хоёрдугаар цоргоны бүтээмжийг $R_2$ гэе. 2. **Тэгшитгэл зохиоё:** Нэгдүгээр цорго 6 цагт савыг дүүргэдэг тул бүтээмж нь: $$R_1 = \frac{1}{6}$$ Хоёр цорго хамтдаа 4 цагт дүүргэдэг тул нийлбэр бүтээмж нь: $$R_1 + R_2 = \frac{1}{4}$$ 3. **Бодолт:** Хоёрдугаар цоргоны бүтээмж $R_2$-г олохын тулд нийлбэр бүтээмжээс нэгдүгээр цоргоны бүтээмжийг хасъя: $$R_2 = \frac{1}{4} - R_1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{6}$$ Ерөнхий хуваарь нь 12. $$R_2 = \frac{3}{12} - \frac{2}{12} = \frac{1}{12}$$ Энэ нь хоёрдугаар цорго нэг цагт савны $\frac{1}{12}$ хэсгийг дүүргэдэг гэсэн үг. 4. **Эцсийн хариулт:** Хоёрдугаар цорго дангаараа савыг дүүргэх хугацаа $T_2$: $$T_2 = \frac{1}{R_2} = \frac{1}{\frac{1}{12}} = 12$$ **Хариулт: Хоёрдугаар цорго дангаараа 12 цагт савыг дүүргэнэ.** *Перевод:* ### б) Задача о заводе напитков 1. **Объём бака:** Примем объём бака, который нужно наполнить, за $1$. Обозначим производительность первого крана (объём в час) как $R_1$, а второго — как $R_2$. 2. **Составим уравнения:** Первый кран наполняет бак за 6 часов, значит, его производительность: $$R_1 = \frac{1}{6}$$ Оба крана вместе наполняют бак за 4 часа, значит, их общая производительность: $$R_1 + R_2 = \frac{1}{4}$$ 3. **Решение:** Чтобы найти производительность второго крана $R_2$, вычтем из общей производительности производительность первого крана: $$R_2 = \frac{1}{4} - R_1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{6}$$ Общий знаменатель — 12. $$R_2 = \frac{3}{12} - \frac{2}{12} = \frac{1}{12}$$ Это означает, что второй кран за один час наполняет $\frac{1}{12}$ бака. 4. **Окончательный ответ:** Время $T_2$, за которое второй кран наполнит бак в одиночку: $$T_2 = \frac{1}{R_2} = \frac{1}{\frac{1}{12}} = 12$$ **Ответ: Второй кран в одиночку наполнит бак за 12 часов.** --- ### в) Кофены бодлого 1. **Нийт кофены хэмжээг олъё:** Хоёр чингэлэгт тус бүр 60 тонн кофе байсан тул нийт кофены хэмжээ: $$2 \times 60 = 120 \text{ тонн}$$ 2. **Хувьсагчдыг тодорхойлъё:** Эхэнд байсан ачигчдын тоог $N$ гэе. Нэг ачигчийн зөөх ёстой байсан кофены хэмжээг $C$ гэе. 3. **Тэгшитгэл зохиоё:** Эхний төлөвлөгөөгөөр: $$N \times C = 120$$ Ачигчдын тэн хагас нь явсан тул үлдсэн ачигчдын тоо $\frac{N}{2}$ болно. Үлдсэн ачигч бүр 10 тонноор илүү зөөсөн тул нэг бүр нь $C + 10$ тонн зөөсөн. $$(\frac{N}{2}) \times (C + 10) = 120$$ 4. **Бодолт:** Эхний тэгшитгэлээс $C$-г олбол: $C = \frac{120}{N}$. Үүнийг хоёрдугаар тэгшитгэлд орлуулъя: $$(\frac{N}{2}) \times (\frac{120}{N} + 10) = 120$$ Хаалт задалъя: $$\frac{N}{2} \times \frac{120}{N} + \frac{N}{2} \times 10 = 120$$ $$60 + 5N = 120$$ $$5N = 120 - 60$$ $$5N = 60$$ $$N = \frac{60}{5} = 12$$ Энэ бол эхэнд байсан нийт ачигчдын тоо. 5. **Эцсийн хариулт:** Бодлогод кофег зөөсөн, буюу ажилласан ачигчдын тоог асуусан. Ачигчдын тэн хагас нь явсан тул ажилласан ачигчдын тоо: $$\frac{N}{2} = \frac{12}{2} = 6$$ **Хариулт: Кофе зөөхөөр 6 ачигч ажилласан.** *Перевод:* ### в) Задача о кофе 1. **Найдём общее количество кофе:** В двух контейнерах по 60 тонн кофе, значит, общее количество: $$2 \times 60 = 120 \text{ тонн}$$ 2. **Определим переменные:** Пусть $N$ — первоначальное количество грузчиков. Пусть $C$ — количество кофе, которое должен был перевезти каждый грузчик. 3. **Составим уравнения:** По первоначальному плану: $$N \times C = 120$$ Половина грузчиков ушла, так что осталось $\frac{N}{2}$ грузчиков. Каждый из оставшихся перевёз на 10 тонн больше, то есть по $C + 10$ тонн. $$(\frac{N}{2}) \times (C + 10) = 120$$ 4. **Решение:** Из первого уравнения найдём $C$: $C = \frac{120}{N}$. Подставим это во второе уравнение: $$(\frac{N}{2}) \times (\frac{120}{N} + 10) = 120$$ Раскроем скобки: $$\frac{N}{2} \times \frac{120}{N} + \frac{N}{2} \times 10 = 120$$ $$60 + 5N = 120$$ $$5N = 120 - 60$$ $$5N = 60$$ $$N = \frac{60}{5} = 12$$ Это первоначальное количество грузчиков. 5. **Окончательный ответ:** В задаче спрашивается, сколько грузчиков работало, то есть перевозило кофе. Половина грузчиков ушла, значит, работало: $$\frac{N}{2} = \frac{12}{2} = 6$$ **Ответ: Над перевозкой кофе работало 6 грузчиков.**