Упрости выражение (b^2 - 4c^2) / (b^2 - 4bc + 4c^2)

Привет! Давай разберём эти примеры по порядку. Всё не так сложно, как кажется! ### Пример д) Нужно упростить выражение: $$ \frac{b^2 - 4c^2}{b^2 - 4bc + 4c^2} $$ 1. **Смотрим на числитель (верхнюю часть):** Выражение $b^2 - 4c^2$ — это формула "разность квадратов": $a^2 - k^2 = (a - k)(a + k)$. В нашем случае $a$ — это $b$, а $k$ — это $2c$, потому что $(2c)^2 = 4c^2$. Получаем: $$ b^2 - 4c^2 = (b - 2c)(b + 2c) $$ 2. **Теперь знаменатель (нижняя часть):** Выражение $b^2 - 4bc + 4c^2$ — это формула "квадрат разности": $a^2 - 2ak + k^2 = (a - k)^2$. Здесь тоже $a$ — это $b$, а $k$ — это $2c$. Проверим: $2 \cdot b \cdot 2c = 4bc$. Всё сходится! Значит: $$ b^2 - 4bc + 4c^2 = (b - 2c)^2 $$ 3. **Собираем дробь и сокращаем:** Подставим то, что у нас получилось, обратно в дробь: $$ \frac{(b - 2c)(b + 2c)}{(b - 2c)^2} $$ Теперь мы можем сократить одинаковую скобку $(b - 2c)$ в числителе и знаменателе. Так как в знаменателе она в квадрате, одна скобка там останется. $$ \frac{\cancel{(b - 2c)}(b + 2c)}{(b - 2c)^{\cancel{2}}} = \frac{b + 2c}{b - 2c} $$ **Ответ: $\frac{b + 2c}{b - 2c}$** ### Пример N2 Теперь решим второе выражение: $$ \frac{3a^2 - 6ab}{a^2 + 3b^2} \cdot \frac{4 - 9b^4}{21a(a - 2b)^2} $$ Действуем так же по шагам — сначала упрощаем каждую часть. 1. **Разложим всё на множители:** * Числитель первой дроби: $3a^2 - 6ab$. Вынесем общий множитель $3a$ за скобку. $$ 3a^2 - 6ab = 3a(a - 2b) $$ * Знаменатель первой дроби: $a^2 + 3b^2$. Это выражение дальше не раскладывается. * Числитель второй дроби: $4 - 9b^4$. Это снова "разность квадратов": $$ 4 - 9b^4 = 2^2 - (3b^2)^2 = (2 - 3b^2)(2 + 3b^2) $$ * Знаменатель второй дроби $21a(a - 2b)^2$ уже в удобном для нас виде. 2. **Запишем всё вместе и сократим:** $$ \frac{3a(a - 2b)}{a^2 + 3b^2} \cdot \frac{(2 - 3b^2)(2 + 3b^2)}{21a(a - 2b)^2} $$ Теперь ищем одинаковые части сверху и снизу, чтобы их сократить: * $3a$ в числителе и $21a$ в знаменателе. Делим оба на $3a$, остаётся $1$ сверху и $7$ снизу. * $(a - 2b)$ в числителе и $(a - 2b)^2$ в знаменателе. Сокращаем, и в знаменателе остаётся одна скобка $(a - 2b)$. 3. **Запишем, что осталось:** $$ \frac{\cancel{3a}\cancel{(a - 2b)}}{a^2 + 3b^2} \cdot \frac{(2 - 3b^2)(2 + 3b^2)}{\cancel{21a}^{\ 7}(a - 2b)^{\cancel{2}}} = \frac{(2 - 3b^2)(2 + 3b^2)}{(a^2 + 3b^2) \cdot 7(a - 2b)} $$ Можно записать немного красивее, поставив $7$ вперёд. **Ответ: $\frac{(2 - 3b^2)(2 + 3b^2)}{7(a - 2b)(a^2 + 3b^2)}$**