Докажи, что при любом значении переменной верно неравенство: 1) (p-3)(p+4)<p(p+1)

Привет! Давай разберёмся с этими неравенствами. Чтобы доказать, что они верны для любого числа, нужно их упростить и посмотреть, что получится в итоге. 1) $(p - 3)(p + 4) < p(p + 1)$ Раскроем скобки в обеих частях: $$p^2 + 4p - 3p - 12 < p^2 + p$$ $$p^2 + p - 12 < p^2 + p$$ Теперь уберём одинаковые части слева и справа ($p^2$ и $p$): $$-12 < 0$$ Это правда, ведь -12 действительно меньше нуля. Значит, и исходное неравенство **верно** при любом $p$. 2) $(x + 1)^2 > x(x + 2)$ Снова раскроем скобки. Слева используем формулу квадрата суммы: $$x^2 + 2x + 1 > x^2 + 2x$$ Убираем одинаковые слагаемые $x^2$ и $2x$: $$1 > 0$$ Это верное числовое неравенство. Значит, и исходное неравенство **верно** при любом $x$. 3) $(a - 5)(a + 2) > (a + 5)(a - 8)$ Раскрываем скобки в обеих частях: $$a^2 + 2a - 5a - 10 > a^2 - 8a + 5a - 40$$ $$a^2 - 3a - 10 > a^2 - 3a - 40$$ Убираем одинаковые части $a^2$ и $-3a$: $$-10 > -40$$ Это правда, так как -10 на числовой прямой находится правее, чем -40. Значит, неравенство **верно** при любом $a$. 4) $y(y + 8) < (y + 4)^2$ Раскрываем скобки: $$y^2 + 8y < y^2 + 8y + 16$$ Убираем одинаковые части $y^2$ и $8y$: $$0 < 16$$ Это верное утверждение. Значит, и исходное неравенство **верно** при любом $y$. 5) $(2a - 5)^2 \le 6a^2 - 20a + 25$ Раскроем скобки слева по формуле квадрата разности: $$4a^2 - 20a + 25 \le 6a^2 - 20a + 25$$ Уберём одинаковые слагаемые $-20a$ и $25$: $$4a^2 \le 6a^2$$ Перенесём $4a^2$ вправо: $$0 \le 6a^2 - 4a^2$$ $$0 \le 2a^2$$ Любое число в квадрате ($a^2$) всегда больше или равно нулю. Если умножить его на 2, результат всё равно будет не отрицательным. Значит, неравенство **верно** при любом $a$. 6) $a^2 + 4 \ge 4a$ Перенесём $4a$ в левую часть: $$a^2 - 4a + 4 \ge 0$$ Слева у нас получилась формула квадрата разности: $$(a - 2)^2 \ge 0$$ Квадрат любого числа всегда больше или равен нулю. Поэтому это неравенство **верно** при любом значении $a$.