Докажи, что при любом значении переменной верно неравенство: (p-3)(p+4) < p(p+1)

Привет! Давай докажем эти неравенства. Идея в том, чтобы упростить каждое из них и в итоге получить очевидно верное утверждение, которое не зависит от переменной. ### 1. $(p-3)(p+4) < p(p+1)$ Раскроем скобки в обеих частях: $$p^2 + 4p - 3p - 12 < p^2 + p$$ $$p^2 + p - 12 < p^2 + p$$ Теперь уберём одинаковые слагаемые ($p^2$ и $p$) с обеих сторон: $$-12 < 0$$ Это верное неравенство, значит, и исходное верно при любом $p$. ### 2. $(x+1)^2 > x(x+2)$ Раскроем скобки. Слева используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$: $$x^2 + 2x + 1 > x^2 + 2x$$ Вычтем из обеих частей $x^2$ и $2x$: $$1 > 0$$ Это верное утверждение, значит, неравенство доказано. ### 3. $(a-5)(a+2) > (a+5)(a-8)$ Раскроем скобки в обеих частях: $$a^2 + 2a - 5a - 10 > a^2 - 8a + 5a - 40$$ $$a^2 - 3a - 10 > a^2 - 3a - 40$$ Уберём одинаковые слагаемые ($a^2$ и $-3a$) с обеих сторон: $$-10 > -40$$ Это правда, ведь -10 на числовой прямой находится правее (больше), чем -40. Неравенство доказано. ### 4. $y(y+8) < (y+4)^2$ Раскрываем скобки: $$y^2 + 8y < y^2 + 8y + 16$$ Вычитаем $y^2$ и $8y$ из обеих частей: $$0 < 16$$ Это верное утверждение, значит, неравенство доказано. ### 5. $(2a-5)^2 \le 6a^2 - 20a + 25$ Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$: $$4a^2 - 20a + 25 \le 6a^2 - 20a + 25$$ Уберём одинаковые слагаемые ($-20a$ и $25$) с обеих сторон: $$4a^2 \le 6a^2$$ Перенесём $4a^2$ вправо: $$0 \le 6a^2 - 4a^2$$ $$0 \le 2a^2$$ Квадрат любого числа ($a^2$) всегда больше или равен нулю. Если умножить его на 2, результат всё равно будет больше или равен нулю. Значит, неравенство верно. ### 6. $a^2 + 4 \ge 4a$ Перенесём $4a$ в левую часть: $$a^2 - 4a + 4 \ge 0$$ Выражение слева — это формула квадрата разности: $$(a-2)^2 \ge 0$$ Квадрат любого числа всегда неотрицателен (то есть больше или равен нулю). Значит, это неравенство верно при любом $a$.