Вычисли sin α, если cos α = 3/5 и 3π/2 < α < 2π

Привет! Давай разберёмся с этими заданиями. Здесь нам понадобится основное тригонометрическое тождество и знание знаков тригонометрических функций по четвертям. ### 174. Вычислить: **1) Найти $sin\alpha$, если $cos\alpha = \frac{3}{5}$ и $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$** * **Шаг 1: Определяем четверть.** Угол $\alpha$ находится в промежутке от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$. Это IV (четвёртая) четверть. В этой четверти синус отрицательный. * **Шаг 2: Используем основное тригонометрическое тождество.** $$sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$$ Подставим известное значение $cos\alpha$: $$sin^2\alpha + (\frac{3}{5})^2 = 1$$ $$sin^2\alpha + \frac{9}{25} = 1$$ $$sin^2\alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$$ * **Шаг 3: Находим $sin\alpha$.** $$sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5}$$ Так как в IV четверти синус отрицательный, выбираем значение со знаком «минус». **Ответ: $sin\alpha = -\frac{4}{5}$** **2) Найти $cos\alpha$, если $sin\alpha = \frac{3}{5}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$** * **Шаг 1: Определяем четверть.** Угол $\alpha$ находится в промежутке от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$. Это II (вторая) четверть. В этой четверти косинус отрицательный. * **Шаг 2: Используем основное тригонометрическое тождество.** $$sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$$ $$(\frac{3}{5})^2 + cos^2\alpha = 1$$ $$\frac{9}{25} + cos^2\alpha = 1$$ $$cos^2\alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$$ * **Шаг 3: Находим $cos\alpha$.** $$cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5}$$ Так как во II четверти косинус отрицательный, выбираем значение со знаком «минус». **Ответ: $cos\alpha = -\frac{4}{5}$** **3) Найти $tg\alpha$, если $sin\alpha = -\frac{5}{13}$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$** * **Шаг 1: Определяем четверть.** Угол $\alpha$ находится в промежутке от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$. Это III (третья) четверть. В этой четверти и синус, и косинус отрицательные, а тангенс — положительный. * **Шаг 2: Находим $cos\alpha$.** $$cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha = 1 - (-\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$$ $$cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13}$$ В III четверти косинус отрицательный, поэтому $cos\alpha = -\frac{12}{13}$. * **Шаг 3: Находим $tg\alpha$.** $$tg\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha}$$ $$tg\alpha = \frac{-5/13}{-12/13} = \frac{5}{12}$$ **Ответ: $tg\alpha = \frac{5}{12}$** **4) Найти $ctg\alpha$, если $cos\alpha = -\frac{12}{13}$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$** * **Шаг 1: Определяем четверть.** Угол $\alpha$ находится в промежутке от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$. Это III (третья) четверть. В этой четверти и синус, и косинус отрицательные, а котангенс — положительный. * **Шаг 2: Находим $sin\alpha$.** $$sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha = 1 - (-\frac{12}{13})^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169}$$ $$sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{25}{169}} = \pm\frac{5}{13}$$ В III четверти синус отрицательный, поэтому $sin\alpha = -\frac{5}{13}$. * **Шаг 3: Находим $ctg\alpha$.** $$ctg\alpha = \frac{cos\alpha}{sin\alpha}$$ $$ctg\alpha = \frac{-12/13}{-5/13} = \frac{12}{5}$$ **Ответ: $ctg\alpha = \frac{12}{5}$**