Вычисли sin α, если cos α = 3/5, 3π/2 < α < 2π

Привет! Давай разберёмся с этими заданиями. Тут нам понадобится основное тригонометрическое тождество и знание знаков тригонометрических функций по четвертям. ### Основное тригонометрическое тождество: $$sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$$ Это значит, что сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла всегда равна единице. **1. Найти $sin\alpha$, если $cos\alpha = \frac{3}{5}$ и $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$.** * Подставим известное значение косинуса в тождество: $$sin^2\alpha + (\frac{3}{5})^2 = 1$$ $$sin^2\alpha + \frac{9}{25} = 1$$ * Теперь найдём $sin^2\alpha$: $$sin^2\alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$$ * Отсюда $sin\alpha$ может быть равен $\frac{4}{5}$ или $-\frac{4}{5}$. * Угол $\alpha$ находится в 4-й четверти ($\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$), а в этой четверти синус отрицательный. * **Ответ: $sin\alpha = -\frac{4}{5}$** **2. Найти $cos\alpha$, если $sin\alpha = \frac{3}{5}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.** * Используем то же тождество: $$(\frac{3}{5})^2 + cos^2\alpha = 1$$ $$\frac{9}{25} + cos^2\alpha = 1$$ * Найдём $cos^2\alpha$: $$cos^2\alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$$ * Значит, $cos\alpha$ может быть равен $\frac{4}{5}$ или $-\frac{4}{5}$. * Угол $\alpha$ находится во 2-й четверти ($\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$), а там косинус отрицательный. * **Ответ: $cos\alpha = -\frac{4}{5}$** **3. Найти $tg\alpha$, если $sin\alpha = -\frac{5}{13}$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$.** * Сначала найдём косинус, как в прошлых заданиях: $$(-\frac{5}{13})^2 + cos^2\alpha = 1$$ $$\frac{25}{169} + cos^2\alpha = 1$$ $$cos^2\alpha = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$$ * $cos\alpha$ может быть $\frac{12}{13}$ или $-\frac{12}{13}$. * Угол $\alpha$ находится в 3-й четверти ($\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$), где косинус отрицательный. Значит, $cos\alpha = -\frac{12}{13}$. * Теперь найдём тангенс по формуле $tg\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha}$: $$tg\alpha = \frac{-5/13}{-12/13} = \frac{5}{12}$$ * **Ответ: $tg\alpha = \frac{5}{12}$** **4. Найти $ctg\alpha$, если $cos\alpha = -\frac{12}{13}$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$.** * Сначала найдём синус: $$sin^2\alpha + (-\frac{12}{13})^2 = 1$$ $$sin^2\alpha + \frac{144}{169} = 1$$ $$sin^2\alpha = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169}$$ * $sin\alpha$ может быть $\frac{5}{13}$ или $-\frac{5}{13}$. * Угол $\alpha$ находится в 3-й четверти ($\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$), где синус отрицательный. Значит, $sin\alpha = -\frac{5}{13}$. * Теперь найдём котангенс по формуле $ctg\alpha = \frac{cos\alpha}{sin\alpha}$: $$ctg\alpha = \frac{-12/13}{-5/13} = \frac{12}{5}$$ * **Ответ: $ctg\alpha = \frac{12}{5}$**