Определи, рациональным или иррациональным числом является значение выражения (√7 + 2)(√7 - 2)

Привет! Давай разберёмся с этими выражениями. Всё довольно просто, сейчас увидишь. **Рациональные числа** — это целые числа, дроби (обыкновенные и десятичные). Например, 5, -1/2, 0.75. **Иррациональные числа** — это числа, которые нельзя представить в виде точной дроби. Чаще всего в них остаётся корень, который нельзя извлечь нацело, например, $\sqrt{2}$ или $\pi$. Давай посмотрим на твои задания: а) $(\sqrt{7}+2)(\sqrt{7}-2)$ Здесь можно применить формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$: $$(\sqrt{7})^2 - 2^2 = 7 - 4 = 3$$ **Ответ: 3. Это рациональное число.** б) $(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-2)$ Раскроем скобки: $$\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - 2 \cdot \sqrt{3} - 1 \cdot \sqrt{3} + 2 = 3 - 2\sqrt{3} - \sqrt{3} + 2 = 5 - 3\sqrt{3}$$ **Ответ: $5 - 3\sqrt{3}$. Это иррациональное число**, потому что остался $\sqrt{3}$. в) $(1-2\sqrt{5})^2$ Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $$1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2\sqrt{5} + (2\sqrt{5})^2 = 1 - 4\sqrt{5} + 4 \cdot 5 = 1 - 4\sqrt{5} + 20 = 21 - 4\sqrt{5}$$ **Ответ: $21 - 4\sqrt{5}$. Это иррациональное число**, так как содержит $\sqrt{5}$. г) $2\sqrt{3} \cdot \sqrt{5} \cdot 3 \cdot \sqrt{15}$ Сгруппируем множители: $$(2 \cdot 3) \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{15}) = 6 \cdot \sqrt{3 \cdot 5 \cdot 15} = 6 \cdot \sqrt{225} = 6 \cdot 15 = 90$$ **Ответ: 90. Это рациональное число.** д) $3\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{12}$ Перемножим числа под корнями: $$3 \cdot \sqrt{2 \cdot 3 \cdot 12} = 3 \cdot \sqrt{72}$$ Упростим корень: $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$. $$3 \cdot 6\sqrt{2} = 18\sqrt{2}$$ **Ответ: $18\sqrt{2}$. Это иррациональное число**, потому что есть $\sqrt{2}$. е) $\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}}{6\sqrt{10}}$ В числителе $\sqrt{2} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{10}$. Получаем: $$\frac{\sqrt{10}}{6\sqrt{10}}$$ Сокращаем $\sqrt{10}$ в числителе и знаменателе: $$\frac{1}{6}$$ **Ответ: $\frac{1}{6}$. Это рациональное число.**