Определи, рациональным или иррациональным числом является значение выражения $(\sqrt{7}+2)(\sqrt{7}-2)$

Привет! Давай разберёмся с этим заданием. Сначала давай вспомним, что такое рациональные и иррациональные числа. * **Рациональные числа** — это все целые числа, дроби (обыкновенные и десятичные), которые можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$. Например: $5, -10, \frac{1}{2}, 0.25$. * **Иррациональные числа** — это числа, которые нельзя представить в виде такой дроби. Чаще всего это корни из чисел, которые не являются полными квадратами, например, $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \pi$. А теперь решим твои примеры. а) $(\sqrt{7}+2)(\sqrt{7}-2)$ Здесь можно применить формулу разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. $$(\sqrt{7})^2 - 2^2 = 7 - 4 = 3$$ **Ответ: 3. Это рациональное число.** б) $(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-2)$ Раскроем скобки, умножая каждый член первой скобки на каждый член второй: $$(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-2) = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - 2 \cdot \sqrt{3} - 1 \cdot \sqrt{3} + (-1) \cdot (-2) = 3 - 2\sqrt{3} - \sqrt{3} + 2 = 5 - 3\sqrt{3}$$ Поскольку в ответе остался $\sqrt{3}$, вычитание из рационального числа иррационального даёт иррациональное число. **Ответ: $5 - 3\sqrt{3}$. Это иррациональное число.** в) $(1-2\sqrt{5})^2$ Используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. $$(1-2\sqrt{5})^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2\sqrt{5} + (2\sqrt{5})^2 = 1 - 4\sqrt{5} + 4 \cdot 5 = 1 - 4\sqrt{5} + 20 = 21 - 4\sqrt{5}$$ В ответе есть $\sqrt{5}$, значит, это иррациональное число. **Ответ: $21 - 4\sqrt{5}$. Это иррациональное число.** г) $2\sqrt{3} \cdot \sqrt{5} \cdot 3 \cdot \sqrt{15}$ Сгруппируем множители: целые числа с целыми, а корни с корнями. $$(2 \cdot 3) \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{15}) = 6 \cdot \sqrt{3 \cdot 5 \cdot 15} = 6 \cdot \sqrt{15 \cdot 15} = 6 \cdot \sqrt{225} = 6 \cdot 15 = 90$$ **Ответ: 90. Это рациональное число.** д) $3\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{12}$ Перемножим числа под корнями: $$3 \cdot \sqrt{2 \cdot 3 \cdot 12} = 3 \cdot \sqrt{72}$$ Можно упростить корень: $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$. $$3 \cdot 6\sqrt{2} = 18\sqrt{2}$$ В ответе есть $\sqrt{2}$, значит, это иррациональное число. **Ответ: $18\sqrt{2}$. Это иррациональное число.** е) $\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}}{6\sqrt{10}}$ Сначала перемножим корни в числителе: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{10}$. $$\frac{\sqrt{10}}{6\sqrt{10}}$$ Теперь можно сократить (поделить) числитель и знаменатель на $\sqrt{10}$. $$\frac{1}{6}$$ **Ответ: $\frac{1}{6}$. Это рациональное число.**